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\lyxformat 413
\begin_document
\begin_header
\textclass /media/alessandro/b44f2f53-7d0f-4359-9cf2-3daf205a4822/iso/ownCloud/UFRuralRJ/UFRuralRJ
\begin_preamble
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Configuração do preâmbulo
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



%%=============================================================================================================
%% Pacotes - língua, codificação e fonte
%%=============================================================================================================
\usepackage[brazilian]{babel} %% use 'english' para documento escrito em inglês
\usepackage[T1]{fontenc} %% Conjunto de caracteres correto


%%=============================================================================================================
%% Pacotes - formatação de equações e números
%%=============================================================================================================

\usepackage{amsmath,latexsym,amssymb}
\usepackage{siunitx} %% Sistema Internacional de Unidades

%%=============================================================================================================
%% Pacotes - formatação de figuras
%%=============================================================================================================

%% Importar figuras corretamente
\usepackage{graphicx}

%% Diretório onde estão as figuras dos capítulos
\graphicspath{{capitulos-b/figuras/}}

\usepackage{float}
\usepackage{wrapfig}

%%=============================================================================================================
%% Pacotes - formatação de hyperlinks e urls
%%=============================================================================================================

%% Opção 'hidelinks' disponível no pacote 'hyperref' a partir da versão 2011-02-05  6.82a. 'hidelinks' retira 
%% os retângulos do entorno das palavras com links.

\usepackage[%hidelinks%, 
            bookmarksopen=true, linktoc=page, colorlinks=true,
            linkcolor=blue, citecolor=blue, filecolor=magenta, urlcolor=blue,
            pdftitle={UFRuralRJ -- Classe LaTeX para formatação de documentos acadêmicos na UFRRJ},
            pdfauthor={Graziela Barroso},
            pdfsubject={Tese de Doutorado},
            pdfkeywords={LaTeX, UFRuralRJ, Documentos acadêmicos}
            ]{hyperref}

%% Pacote para lidar com url longa, deve ser carregado depois do pacote 'hyperref'
\usepackage[hyphenbreaks]{breakurl}

%% Se o pacote 'hyperref' acima foi carregado, a linha abaixo corrige um bug na 
%% hora de montar o sumário da lista de figuras e tabelas. Comente a linha se o
%% pacote 'hyperref' não foi carregado.
\input{macros/bugcaption}

%%=============================================================================================================
%% Pacotes - formatação da bibliografia de acordo com as normas da ABNT
%%=============================================================================================================
% O pacote 'abntex2cite' precisa, obrigatoriamente, ser carregado depois do pacote 'hyperref'.
% Mais informações podem ser obtidas na página do pacote no GitHub: https://github.com/abntex/abntex2

\usepackage[alf, abnt-and-type=&, abnt-etal-cite=2, abnt-etal-list = 0]{abntex2cite}

%%=============================================================================================================
%% Identificação do trabalho
%%=============================================================================================================
\titulo{Aspectos da L\'ogica Modal} %% Título
\author{Souza}{Marcos Aur\'elio da Costa} %% Autor: sobrenome, nome
%\autoratrue %% Usar no caso de uma AUTORA
\instituto{Instituto de Ci\^encias Humanas e Sociais} %% Instituto
\curso{Curso de Licenciatura em Filosofia} %% Curso de pós-graduação
\grau{Licenciado em Filosofia}
%\area{Ciência do Solo} %% Área de concentração
\local{Seropédica}{RJ}{Brasil} %% Local da defesa

%%=============================================================================================================
%% Identificação dos orientadores
%%=============================================================================================================
\advisor[Professor]{Dr.}{Duarte}{Alessandro Bandeira}{UFRRJ} %% Orientadora
%\coadvisor[Pesquisador]{Dr.}{Salles}{Hilton} %% Co-orientador, se existir
%\coadvisor[Professor]{Dr.}{Costa}{Fernando} %% Co-orientador, se existir

%%=============================================================================================================
%% Informações sobre a defesa
%%=============================================================================================================
\committee[Dr.]{Duarte}{Alessandro }{UFRRJ} %% Presidente
\committee[Dr.]{Valois}{Renato}{UFRRJ} %% Examinadora
\committee[Dr.]{Guitarrari}{Robinson}{UFRRJ} %% Examinador
%\committee[Dra.]{Souza}{Tânia Maria Melquiades de}{UFRRJ} %% Examinadora
%\committee[Dr.]{Groszman}{Américo}{UFRRJ} %% Examinador
\date{17}{12}{2015} %% Data da defesa

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Pstricks
\usepackage[usenames,dvipsnames]{pstricks}
\usepackage{epsfig}
\usepackage{pst-grad} % For gradients
\usepackage{pst-plot} % For axes
\usepackage[space]{grffile} % For spaces in paths
\usepackage{etoolbox} % For spaces in paths

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Pacotes AMS
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{txfonts}
\usepackage{pxfonts}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end_preamble
\options tg
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fixltx2e
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\language brazilian
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\font_sans default
\font_typewriter default
\font_default_family default
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\font_tt_scale 100
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\default_output_format default
\output_sync 0
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\index_command default
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\papersize default
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\index Index
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\color #008000
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\quotes_language english
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\html_be_strict false
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\begin_body

\begin_layout Standard
\begin_inset Note Note
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
Em primeiro lugar, é necessário escolher o tipo de documento.
 Há as seguintes opções:
\end_layout

\begin_layout Plain Layout
tese — para produzir uma tese
\end_layout

\begin_layout Plain Layout
diss — para produzir uma dissertação
\end_layout

\begin_layout Plain Layout
espec — para produzir um trabalho de especialização
\end_layout

\begin_layout Plain Layout
tg — para produzir um trabalho de graduação
\end_layout

\begin_layout Plain Layout
Escolhido o tipo de trabalho, vá em documento > configurações > classe de
 documento.
 Em personalizar: introduza a opção escolhida.
\end_layout

\begin_layout Plain Layout
Nesse modelo, usaremos: tg
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Note Note
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
Esse modelo usará as opções: twoside, openright e header
\end_layout

\begin_layout Plain Layout
A opção 'openright' força inícios de capítulos em páginas ímpares
\end_layout

\begin_layout Plain Layout
Use a opção 'twoside' para gerar uma versão frente-e-verso
\end_layout

\begin_layout Plain Layout
A opção 'header' gera cabeçalhos
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout

\backslash
maketitle produz capa e folha de rosto
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
maketitle
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout

\backslash
makeaaprove produz a folha de assinatura
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
makeapprove
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Chapter*
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
vspace*{
\backslash
fill}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align right
Este trabalho é dedicado à toda academia, por me proporcionar esta oportunidade.
 E à minha família pela confiança que em mim foi depositada.
 Em especial, dedico este trabalho à minha mãe, 
\shape italic
in memoriam
\shape default
.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
vspace*{
\backslash
fill}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Chapter*
Agradecimentos
\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
Primeiramente, devo agradecer a Deus por tudo que Ele tem me proporcionado
 e por mais esta oportunidade de externar meus pensamentos.
 Agradeço também à minha família que lutou tanto para minha formação.
 A Meu pai Ismael que desde quando eu era pequeno se dedicou à minha formação
 intelectual e me mostrou que a vida pode nos proporcionar horizontes que
 jamais imaginamos alcançar.
 À Minha mãe Maria de Lourdes que desde pequeno me ensinou que a vida é
 melhor do que imaginamos e que podemos ser felizes mesmo quando não temos
 nada.
 Mesmo longe de nós, ela sempre vai estar em meu coração.
 Muito obrigado pai e mãe por tudo que vocês representam para minha vida.
\end_layout

\begin_layout Standard
Agradeço também às minhas irmãs Sandra, Marcia (in memoriam), Sara, Cristina,
 Claudia.
 Agradeço também aos meus cunhados pela força que me deram nos momentos
 ruins da minha vida e que me alegraram quando eu precisava.
 Aos meus primos Fábio e Fabiana e suas famílias.
 A todos os meus amigos que sempre estiveram comigo nos momentos da minha
 vida.
\end_layout

\begin_layout Standard
Agradeço à família Graciliano que nos últimos momentos tem me proporcionado
 uma esperança de alcançar meus sonhos, e por tapar o buraco deixado com
 a ida da minha mãe.
\end_layout

\begin_layout Standard
Aos momentos em que estive no alojamento da UFRRJ-Seropédica com a galera
 do quarto 221, Marcelo, Otávio (tavim), Vinicius (alemão), Helbert e Tuyuka.
 Também a Leandro (léo) que praticamente se dedicou à minha formação e me
 proporcionou momentos bons e me ajudou muito nesta minha caminhada de formação
 em discussões filosóficas noites adentro no quarto e na sala de estudos.
 A meus amigos de turma que foram meus primeiros amigos na Universidade.
 À galera do quarto 227 que souberam me aturar e me ajudaram em diversas
 discussões filosóficas e também pela amizade que vale pela vida.
\end_layout

\begin_layout Standard
Aos professores de filosofia da UFRRJ-Seropédica que foram decisivos na
 minha trajetória de graduação.
 Ao meu orientador Professor Alessandro por ter me acolhido e me adotado
 como um filho, proporcionando todo apoio acadêmico que alguém pode ter
 para um bom preparo.
 Agradeço também à UFRRJ-Seropédica por ter me dado essa oportunidade tanto
 de formação quanto de apoio logístico.
\end_layout

\begin_layout Chapter*
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
vspace*{
\backslash
fill} 
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{flushright}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
``
\shape italic
Lógica e razão são coisas da terra.
 Eu divido as coisas da terra, coisas do universo e coisas da coisa.
 E as coisas da coisa, minha filha, essas é que são o negócio, entende?
 Quem é que pode explicá-las?
\shape default
''
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash

\backslash
 
\end_layout

\end_inset

(Raul Seixas) 
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{flushright}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

%%==========================================================================
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

%Resumo geral (português) 
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

%%==========================================================================
 
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
def
\backslash
tituloPT{Aspectos da L
\backslash
'ogica Modal} 
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
def
\backslash
chavesPT{ Lógica Modal; Lógica Proposicional; Paradoxos; Acessibilidade.
 } %% Palavras-chave em português 
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
def
\backslash
nivelPT{Licenciatura em Filosofia}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{generalabstract}{brazilian}{
\backslash
tituloPT}{
\backslash
chavesPT}{
\backslash
nivelPT} %% Resumo geral em português
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
A lógica proposicional modal (LPM) como a conhecemos hoje é um produto do
 trabalho de C.
 I.
 Lewis, cujo projeto foi enfrentar
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
tava encarar
\end_layout

\end_inset

 os problemas que a lógica proposicional clássica (LPC) enfrentou.
 Nosso tema se estabeleceu sobre dois pontos que fundamentaram esta monografia.
 No primeiro ponto, faremos a análise descritiva da LPC e seus aspectos
 fundamentais, bem como suas noções lógicas já conhecidas, a saber, negação,
 conjunção comutativa, disjunção inclusiva, disjunção exclusiva, equivalência
 material e implicação material.
 E ainda neste ponto, evidenciaremos os paradoxos que rondaram a LPC, a
 saber, os chamados 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

paradoxos da implicação material
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

 e suas possíveis soluções.
 No segundo ponto, trataremos dos aspectos da LPM, seus fundamentos como
 a semântica de mundos possíveis e as relações de acessibilidade entre mundos.
 E mostraremos que a LPM enfrentou
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
tava encarou
\end_layout

\end_inset

 paradoxos similares aos da LPC.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{generalabstract}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset CommandInset toc
LatexCommand tableofcontents

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
setcounter{page}{1} 
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
artigofalse
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
onehalfspacing
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Chapter
Introdução
\end_layout

\begin_layout Standard
A lógica modal cresceu muito no século passado devido a alguns problemas
 em relação a lógica proposicional clássica que foram decisivos para o seu
 desenvolvimento.
 E para tratar dos aspectos que rondaram a lógica modal, veremos no decorrer
 deste trabalho a importância que filósofos e lógicos deram aos impasses
 criados por esses problemas.
 Podemos caracterizar o ponto de partida para o desenvolvimento da lógica
 modal moderna como um momento de insatisfação por parte de alguns lógicos
 a certas deficiências de noções lógicas interpretadas em linguagem ordinária.
 Por exemplo, o tratamento semântico dado ao problema da implicação material
 em inferências ordinárias deu a CI Lewis uma resposta significativa, levando-o
 aos primeiros passos na inserção de noções modais à linguagem proposicional
 clássica 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
cite[p.
 291]{LEWIS1918}
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Os apontamentos lewisianos foram importantes para o que chamaram de 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

paradoxos da implicação material
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

.
 Em relação à alegação de que nem todos os condicionais em inferências ordinária
s são condicionais materiais, Lewis propõe cinco sistemas axiomáticos para
 a implicação estrita em sua obra intitulada 
\shape italic
A Survey of Symbolic Logic
\shape default

\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
nocite{LEWIS1918}
\end_layout

\end_inset

.
 Ele formulou que uma implicação estrita é aquela cuja definição é dada
 em termos de 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

é impossível que...
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

.
 Porém, uma das dificuldades desses sistemas axiomáticos era demonstrar
 sua corretude e completude, pois os sistemas lewisianos não apresentavam
 uma semântica que dava conta de tais características.
\end_layout

\begin_layout Standard
É importante ressaltar que a resposta lewisiana para esses paradoxos também
 encarou os mesmos problemas que a implicação material.
 Foi a partir daí que Kripke em 1959 elaborou sistematicamente uma semântica
 que responda de modo extensional às noções modais propostas por Lewis.
 Podemos chamá-la de semântica de mundos possíveis 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
cite{KRIPKE1959}
\end_layout

\end_inset

.
 Dessa forma, podemos evidenciar que a lógica de mundos possíveis como a
 conhecemos canonicamente hoje se instaurou de maneira gradual em seus diversos
 aspectos incorporados à medida que lógicos, como Kripke, apresentaram soluções
 plausíveis.
\end_layout

\begin_layout Standard
A característica deste trabalho foi estabelecida por dois pontos que influenciar
am o desenvolvimento do nosso tema.
 No segundo capítulo
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
tava primeiro
\end_layout

\end_inset

, visamos o primeiro ponto fazendo uma descrição da lógica proposicional
 clássica (LPC), com as diversas noções lógicas já conhecidas, como negação,
 disjunção inclusiva, disjunção exclusiva, conjunção comutativa, equivalência
 material e implicação material
\begin_inset Foot
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
CI Lewis vê a LPC como um sistema baseado na implicação material 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
cite[p.
 222]{LEWIS1918}
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\end_inset

.
 Vimos também os Paradoxos apontados por CI Lewis em 
\shape italic
A Survey of Symbolic Logic
\shape default
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
cite[p.
 291]{LEWIS1918}
\end_layout

\end_inset

 e um breve comentário de Girle sobre as possíveis soluções sugeridas para
 estes problemas.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
No terceiro capítulo
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
tava segundo
\end_layout

\end_inset

, abordamos efetivamente a estrutura sintática e semântica da lógica proposicion
al modal (LPM) e seus aspectos, bem como seus diversos sistemas modais fundament
ados nas relações de acessibilidade entre mundos possíveis.
 A ideia neste capítulo é pontuar a importância das relações de acessibilidade,
 que em conjunto com as noções primitivas de mundos possíveis, formam certas
 características peculiares a cada sistema modal.
\end_layout

\begin_layout Chapter
Lógica proposicional clássica
\end_layout

\begin_layout Section
A linguagem a serviço da lógica
\end_layout

\begin_layout Standard
O objetivo deste capítulo é apresentar a lógica proposicional clássica (LPC)
 em seu ápice de análise no início do século XX.
 Abordaremos os princípios da LPC, bem como suas noções lógicas e seus aspectos
 como sistema formal.
 Podemos caracterizar a formalização como uma das opções de análise à linguagem
 ordinária.
 Veremos como se dá a associação entre a linguagem ordinária e a LPC e seu
 perfil característico na utilização de alguns conectivos lógicos na linguagem
 ordinária.
 Mais a frente veremos também que não há nada de complexo nos princípios
 lógicos que caracterizam a LPC.
 Entretanto, como bem observado por alguns autores, a formalização da linguagem
 ordinária, isto é, a tradução da linguagem ordinária para linguagem formal
 tem seus problemas.
 Nem todos os condicionais podem ser bem explicados e traduzidos de maneira
 clara pela implicação material.
 Neste momento, nossa análise consiste em apresentar a LPC nos moldes já
 
\color black
adotados
\color inherit
 e, por fim, apresentar em quais circunstâncias o problema com a associação
 de condicionais na linguagem ordinária para implicação material levaram
 esses autores à modalização.
\end_layout

\begin_layout Standard
Primariamente, baseamos nossa pesquisa numa obra de Rod Girle intitulada
 
\shape italic
Possible Worlds 
\shape default

\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
cite{Girle2003}
\end_layout

\end_inset

, que, nos dois primeiros capítulos, propõe uma discussão importante desse
 processo de tramitação entre a lógica proposicional clássica e a lógica
 proposicional modal (LPM).
 Veremos como Girle apresenta o problema do condicional material e seu comentári
o às propostas encaminhadas em alguns autores citados por ele.
 A linguagem ordinária é muito vasta e rica em expressões flexíveis e que
 na tradução para linguagem formal podem haver perdas
\begin_inset Foot
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
Como bem apontado por Rocha em seu artigo 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

Implicação Lógica e Material: esclarecendo pequenas confusões comuns
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
cite{ROCHA2013}
\end_layout

\end_inset

, no início da seção 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

Composicionalismo proposicional
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

, a linguagem natural (ou ordinária) tem um 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

poder expressivo maior
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

, mas com o inconveniente de comportar ambiguidades.
 O que diminui esse risco em linguagem natural pelo seu aspecto limitado.
\end_layout

\end_inset

.
 Para linguagem ordinária, o significado depende de alguns fatores extra-lógicos
 como contexto, normas éticas e sociais que interferem na interpretação
 do falante e do ouvinte
\begin_inset Foot
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
Nesse caso, embora Girle não seja claro ao que ele chama de significado,
 ele se aproxima muito ao que Wittgenstein nos primeiros parágrafos de 
\shape italic
Investigações Filosóficas
\shape default
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
cite[p.
 34, 35]{WITTGENSTEIN1999}
\end_layout

\end_inset

 diz sobre os 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

jogos de linguagem
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

.
 Os modos de pronunciação, as expressões faciais, tonalidade sonora são
 variações dos muitos jogos de linguagem, caracterizando uma multiplicidade
 de jogos.
\end_layout

\end_inset

.
 Esta limitação pode evidenciar que, na tradução, é impossível a pretensão
 de abarcar tudo aquilo que a linguagem ordinária quer dizer ou expressar.
 Em geral, as noções lógicas são negação, conjunção comutativa, disjunção
 inclusiva
\begin_inset Foot
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
Usamos disjunção inclusiva aqui, pois veremos mais a frente que a disjunção
 exclusiva é devivada da inclusiva.
\end_layout

\end_inset

, equivalência material e implicação material
\begin_inset Foot
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
Girle evidencia que há somente implicação material em LPC e que alguns lógicos
 erradamente imaginaram que o condicional em linguagem ordinária é somente
 material.
 Mais a frente veremos um exemplo caracterizando tal erro.
\end_layout

\end_inset

.
 Introduziremos agora a sintaxe e semântica para a nossa Linguagem L.
 
\end_layout

\begin_layout Section
Sintaxe e semântica da LPC
\end_layout

\begin_layout Standard
Atualmente, a linguagem formal se caracteriza basicamente de uma sintaxe
 e uma semântica.
 As próximas palavras servirão para introduzirmos esse processo de formalização.
 
\shape italic
Prima facie
\shape default
, vamos convencionar uma linguagem L.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Sintaxe da linguagem L
\end_layout

\begin_layout Standard
Nosso alfabeto sintático será constituído por:
\end_layout

\begin_layout Itemize

\series bold
\color black
Letras proposicionais:
\series default
 letras do alfabeto da língua portuguesa a partir de 
\begin_inset Formula $p_{1}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $p_{2}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $p_{3}$
\end_inset

, ..., 
\begin_inset Formula $q_{1}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $q_{2}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $q_{3}$
\end_inset

, ..., 
\begin_inset Formula $r_{1}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $r_{2}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $r_{3}$
\end_inset

, etc.;
\end_layout

\begin_layout Itemize

\series bold
Conectivos Lógicos:
\series default
 teremos os símbolos 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset


\begin_inset Formula $\sim$
\end_inset


\begin_inset Quotes erd
\end_inset

 para negação, 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset


\begin_inset Formula $\land$
\end_inset


\begin_inset Quotes erd
\end_inset

 para conjunção, 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset


\begin_inset Formula $\vee$
\end_inset


\begin_inset Quotes erd
\end_inset

 para disjunção inclusiva, 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset


\begin_inset Formula $\equiv$
\end_inset


\begin_inset Quotes erd
\end_inset

 para equivalência material e 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset


\begin_inset Formula $\supset$
\end_inset


\begin_inset Quotes erd
\end_inset

 para implicação material;
\end_layout

\begin_layout Itemize

\series bold
Parênteses:
\series default
 ( , )
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset VSpace bigskip
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Definição de fórmula:
\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
Fórmula:
\series default
 é toda sequência finita de símbolos do nosso alfabeto.
 Por exemplo:
\begin_inset Formula $(p)$
\end_inset

;
\begin_inset Formula $\sim q$
\end_inset

 ; 
\begin_inset Formula $q\supset\sim p$
\end_inset

 são fórmulas da Linguagem L.
\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
Fórmula Bem-Formada (FBF):
\series default
 são Fórmulas que satisfazem pelo menos um dos itens a seguir:
\end_layout

\begin_layout Itemize
Toda letra proposicional do nosso alfabeto é uma 
\series bold
FBF
\series default
;
\end_layout

\begin_layout Itemize
Seja 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset


\begin_inset Foot
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
Não utilizamos as letras do inicio do alfabeto grego em linguagem objeto,
 somente em metalinguagem.
\end_layout

\end_inset

 uma variável proposicional, se é uma 
\series bold
FBF
\series default
, então 
\begin_inset Formula $(\sim\alpha)$
\end_inset

 é uma 
\series bold
FBF
\series default
;
\end_layout

\begin_layout Itemize
Sejam 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

 variáveis proposicionais, se são 
\series bold
FBFs
\series default
, então 
\begin_inset Formula $(\alpha\wedge\beta)$
\end_inset

 é uma 
\series bold
FBF
\series default
;
\end_layout

\begin_layout Itemize
Sejam 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

 variáveis proposicionais, se são 
\series bold
FBFs
\series default
, então 
\begin_inset Formula $(\alpha\vee\beta)$
\end_inset

 é uma 
\series bold
FBF
\series default
;
\end_layout

\begin_layout Itemize
Sejam 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

 variáveis proposicionais, se são 
\series bold
FBFs
\series default
, então 
\begin_inset Formula $(\alpha\equiv\beta)$
\end_inset

 é uma 
\series bold
FBF;
\end_layout

\begin_layout Itemize
Sejam 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

 variáveis proposicionais, se são 
\series bold
FBFs
\series default
, então 
\begin_inset Formula $(\alpha\supset\beta)$
\end_inset

 é uma 
\series bold
FBF.
\end_layout

\begin_layout Itemize
Todas as demais não são Fómulas Bem-Formadas.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Semântica em linguagem L
\end_layout

\begin_layout Standard
A LPC trabalha com
\color red
 
\color inherit
dois valores de verdade, verdadeiro e falso.
 Assumindo uma função valorativa 
\shape italic

\begin_inset Formula $v_{i}$
\end_inset


\shape default
 sobre a qual a cada letra proposicional é admitido somente um dos valores
 de verdade 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
cite[p.
 11]{SMULLYAN2002/2009}
\end_layout

\end_inset

, então tal função 
\begin_inset Formula $v_{i}$
\end_inset

 atribui a cada letra proposicional verdadeiro (V) ou falso (F)
\begin_inset Foot
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
Em
\shape italic
 A Survey of Symbolic Logic
\shape default
, Lewis caracteriza essa bivalência como 
\shape italic
Álgebra de dois valores
\shape default
.
 Para qualquer x, se x
\begin_inset Formula $\neq$
\end_inset

1, então x=0, e se x
\begin_inset Formula $\neq$
\end_inset

0, então x=1.
 Onde x=0 é equivalente a 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

x é falso
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

 e x=1 é equivalente a 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

x é verdadeiro
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

.
 Também, x
\begin_inset Formula $\neq$
\end_inset

0 significa a negação de x=0, bem como x
\begin_inset Formula $\neq$
\end_inset

1 é a negação de x=1.
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
cite[p.
 222]{LEWIS1918}
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\end_inset

 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
cite[p.
 223]{LEWIS1918}
\end_layout

\end_inset

.
 Nesse caso, para cada letra proposicional 
\begin_inset Formula $p_{i}$
\end_inset

 (onde 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

 percorre os números naturais 
\begin_inset Formula $\mathbb{N}$
\end_inset

) só existem duas possibilidades:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $v_{i}(p_{i})=V$
\end_inset

 ou 
\begin_inset Formula $v_{i}(p_{i})=F$
\end_inset

, onde 
\begin_inset Formula $i\geqslant1$
\end_inset

 em 
\begin_inset Formula $\mathbb{N}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
É a partir desse princípio semântico
\begin_inset Foot
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
Este princípio estabelece que, para FBFs complexas cuja característica é
 apresentar letras proposicionais e conectivos, há 
\begin_inset Formula $2^{n}$
\end_inset

 possibilidades de atribuição de valores de verdade, onde 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 é o número de FBFs atômicas.
\end_layout

\end_inset

 que o valor de verdade das fórmulas bem-formadas complexas será estabelecido
 na linguagem L.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Negação
\end_layout

\begin_layout Standard
A Negação é uma função
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
troquei noção por função.
\end_layout

\end_inset

 lógica que simplesmente troca o valor de verdade de uma proposição.
 Se
\shape italic
 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset


\shape default
 é uma proposição verdadeira, então 
\begin_inset Formula $(\sim\alpha)$
\end_inset

 é uma proposição falsa.
 Da mesma forma, se
\color black
 
\shape italic

\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset


\shape default
 for uma proposição falsa, então 
\begin_inset Formula $(\sim\alpha)$
\end_inset

 é verdadeira.

\color inherit
 Seguindo esse princípio semântico, 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 equivale a 
\begin_inset Formula $(\sim(\sim\alpha))$
\end_inset

.
 Pois, se uma proposição 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 é verdadeira, então 
\begin_inset Formula $(\sim(\sim\alpha))$
\end_inset

 é verdadeira (e vice-versa), 
\color black
porque negar uma negação é o mesmo que afirmar
\color inherit
.
 Portanto, a tabela de verdade da negação será:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset VSpace bigskip
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Tabular
<lyxtabular version="3" rows="3" columns="3">
<features tabularvalignment="middle">
<column alignment="center" valignment="top">
<column alignment="center" valignment="top">
<column alignment="center" valignment="top">
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $(\sim\alpha)$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $(\sim(\sim\alpha))$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
</lyxtabular>

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset VSpace bigskip
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
Conjunção
\end_layout

\begin_layout Standard
Na LPC, basta uma das proposições ser falsa para que a conjunção seja falsa
 também.
 Só há um caso em que a conjunção é verdadeira, quando os conjuntos são
 ambos verdadeiros .
 Portanto, a tabela-verdade
\begin_inset Foot
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
A função de verdade ou a função valorativa 
\shape italic
v
\shape default
 para a conjunção é:
\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Tabular
<lyxtabular version="3" rows="5" columns="3">
<features tabularvalignment="middle">
<column alignment="center" valignment="top">
<column alignment="center" valignment="top">
<column alignment="center" valignment="top">
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
Função característica
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
par
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
Valor da Conjunção
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $v_{1}(p_{1})=V$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $v_{1}(p_{2})=V$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
(V,V)
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\series bold
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $v_{2}(p_{1})=V$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $v_{2}(p_{2})=F$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
(V,F)
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\series bold
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $v_{3}(p_{1})=F$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $v_{3}(p_{2})=V$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
(F,V)
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\series bold
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $v_{4}(p_{1})=F$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $v_{4}(p_{2})=F$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
(F,F)
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\series bold
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
</lyxtabular>

\end_inset


\end_layout

\end_inset

 será:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset VSpace bigskip
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Tabular
<lyxtabular version="3" rows="5" columns="4">
<features tabularvalignment="middle">
<column alignment="center" valignment="top">
<column alignment="center" valignment="top">
<column alignment="center" valignment="top">
<column alignment="center" valignment="top">
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $(\alpha\land\beta)$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $(\beta\land\alpha)$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
</lyxtabular>

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset VSpace bigskip
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
No entanto, a conjunção é uma função lógica que apresenta um aspecto problemátic
o se levarmos em conta certas características em associação com a linguagem
 ordinária.
 Tal constatação se dá pelo fato da LPC trabalhar somente com conjunções
 comutativas, desconsiderando a ambiguidade que a comutatividade traz nas
 conjunções em linguagem ordinária.
\end_layout

\begin_layout Standard
Normalmente vemos a conjunção como proposições que estão acontecendo ao
 mesmo tempo.
 Por exemplo, traduzindo a proposição 
\shape italic

\begin_inset Quotes eld
\end_inset

Marcos é filosofo
\begin_inset Quotes erd
\end_inset


\shape default
 por 
\shape italic

\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset


\shape default
 e 
\shape italic

\begin_inset Quotes eld
\end_inset

Marcos é brasileiro
\begin_inset Quotes erd
\end_inset


\shape default
 por 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $(\alpha\land\beta)$
\end_inset

 é verdadeira se ambas as proposições 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

 forem verdadeiras ao mesmo tempo.
 Em LPC, portanto, se 
\begin_inset Formula $(\alpha\land\beta)$
\end_inset

 é verdadeira, então 
\begin_inset Formula $(\beta\land\alpha)$
\end_inset

 também é verdadeira.
 Assim, a comutatividade funciona perfeitamente.
 Todavia, quando trabalhamos com proposições que estão ligadas por um 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

sequenciamento temporal
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

 encontraremos um problema semântico de tradução, pois a conjunção agora
 deixaria de ser comutativa.
 Por exemplo, seja a sentença 
\shape italic

\begin_inset Quotes eld
\end_inset

Sócrates tomou sicuta 
\series bold
e
\series default
 morreu
\begin_inset Quotes erd
\end_inset


\shape default
.
 Traduzindo 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

Sócrates tomou sicuta
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

 por 
\shape italic

\begin_inset Formula $\alpha_{1}$
\end_inset


\shape default
 e 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

Sócrates morreu
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

 por 
\begin_inset Formula $\beta_{1}$
\end_inset

, teremos a conjunção 
\begin_inset Formula $(\alpha_{1}\land\beta_{1})$
\end_inset

 como verdadeira, pois ambas 
\begin_inset Formula $\alpha_{1}$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $\beta_{1}$
\end_inset

 são verdadeiras.
 Porém, dizer que 
\begin_inset Formula $(\beta_{1}\land\alpha_{1})$
\end_inset

 é verdadeira, ou seja, afirmar que 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

Sócrates morreu 
\series bold
e
\series default
 tomou sicuta
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

 não é usual
\begin_inset Note Note
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
tava: não tem sentido
\end_layout

\end_inset

 em linguagem ordinária.
 Agora, a 
\color black
comutatividade
\color inherit
 não faz sentido porque as proposições estão ligadas numa sequência de tempo.
 Podemos traduzir o conectivo da conjunção por 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

e depois
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

, que a tornaria 
\shape italic

\begin_inset Quotes eld
\end_inset

Sócrates tomou sicuta 
\series bold
e depois
\series default
 ele morreu
\begin_inset Quotes erd
\end_inset


\shape default

\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Podemos dizer também que esse tipo de conjunção pode ser chamada de CONJUNÇÃO
 CAUSAL.
 Por evidenciar uma sequência de eventos espaço-temporal.
\end_layout

\end_inset

.
 Entretanto, a LPC não tem nenhum artifício que traduza uma conjunção não-comuta
tiva, admitindo-se então que a LPC não comporta as relações temporais 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
cite[p.
 20]{Girle2003}
\end_layout

\end_inset

.
 E que, portanto, esse caráter temporal se perde na tradução para linguagem
 formal.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Disjunção inclusiva
\end_layout

\begin_layout Standard
Diferentemente da conjunção, nesta função lógica, basta uma das proposições
 ser verdadeira para que a disjunção inclusiva 
\color black
seja
\color inherit
 verdadeira.
 Então a tabela-verdade
\begin_inset Foot
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
A função valorativa da disjunção aparece da seguinte forma:
\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Tabular
<lyxtabular version="3" rows="5" columns="3">
<features tabularvalignment="middle">
<column alignment="center" valignment="top">
<column alignment="center" valignment="top">
<column alignment="center" valignment="top">
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
função característica
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
par
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
valor da disjunção
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $v_{1}(p_{1})=V$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $v_{1}(p_{2})=V$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
(V,V)
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\series bold
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $v_{2}(p_{1})=V$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $v_{2}(p_{2})=F$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
(V,F)
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\series bold
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $v_{3}(p_{1})=F$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $v_{3}(p_{2})=V$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
(F,V)
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\series bold
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $v_{4}(p_{1})=F$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $v_{4}(p_{2})=F$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
(F,F)
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\series bold
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
</lyxtabular>

\end_inset


\end_layout

\end_inset

 será:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Tabular
<lyxtabular version="3" rows="5" columns="3">
<features tabularvalignment="middle">
<column alignment="center" valignment="top">
<column alignment="center" valignment="top">
<column alignment="center" valignment="top">
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $(\alpha\lor\beta)$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
</lyxtabular>

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset VSpace bigskip
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
A 
\shape italic
disjunção exclusiva
\shape default
, não mencionada até agora, é uma função lógica que, por definição, é verdadeira
 somente quando um dos disjuntos é verdadeiro, mas não ambos.
 Sua equivalência lógica é obtida a partir da disjunção inclusiva, da conjunção
 e da negação.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $(\alpha\oplus\beta)\Leftrightarrow((\alpha\lor\beta)\land(\sim(\alpha\land\beta)))$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Ambas as proposições possuem a mesma tabela-verdade
\begin_inset Foot
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
Para nossa linguagem usaremos o símbolo 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset


\begin_inset Formula $\Leftrightarrow$
\end_inset


\begin_inset Quotes erd
\end_inset

 para estabelecer a equivalência lógica, que significa que ambas as proposições
 têm a mesma tabela-verdade.
\end_layout

\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset VSpace bigskip
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Tabular
<lyxtabular version="3" rows="5" columns="3">
<features tabularvalignment="middle">
<column alignment="center" valignment="top">
<column alignment="center" valignment="top">
<column alignment="center" valignment="top">
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $(\alpha\oplus\beta)$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\series bold
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\series bold
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\series bold
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\series bold
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
</lyxtabular>

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset VSpace bigskip
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Tabular
<lyxtabular version="3" rows="5" columns="6">
<features tabularvalignment="middle">
<column alignment="center" valignment="top">
<column alignment="center" valignment="top">
<column alignment="center" valignment="top">
<column alignment="center" valignment="top">
<column alignment="center" valignment="top">
<column alignment="center" valignment="top">
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $(\alpha\lor\beta)$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $(\alpha\land\beta)$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $(\sim(\alpha\land\beta))$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $((\alpha\lor\beta)\land(\sim(\alpha\land\beta)))$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\series bold
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\series bold
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\series bold
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\series bold
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
</lyxtabular>

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset VSpace medskip
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
A última coluna de cada tabela acima apresenta a mesma característica, então
 
\begin_inset Formula $(\alpha\oplus\beta)$
\end_inset

 é logicamente equivalente a 
\begin_inset Formula $((\alpha\lor\beta)\land(\sim(\alpha\land\beta)))$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset VSpace bigskip
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
Equivalência material
\end_layout

\begin_layout Standard
A equivalência material é verdadeira quando ambas as proposições têm o mesmo
 valor de verdade.
 Do contrário, quando as proposições têm valores diferentes a equivalência
 material será falsa.
 Ou seja, 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 equivale materialmente a 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

, se e somente se, 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 implica materialmente 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

 implica materialmente 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
cite[p.
 293]{LEWIS1918}
\end_layout

\end_inset

.
 Portanto, a tabela-verdade
\begin_inset Foot
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
A Função Valorativa da Equivalência Material é:
\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Tabular
<lyxtabular version="3" rows="5" columns="3">
<features tabularvalignment="middle">
<column alignment="center" valignment="top">
<column alignment="center" valignment="top">
<column alignment="center" valignment="top">
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
Função de verdade
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
par
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
Valor da Conjunção
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $v_{1}(p_{1})=V$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $v_{1}(p_{2})=V$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
(V,V)
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\series bold
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $v_{2}(p_{1})=V$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $v_{2}(p_{2})=F$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
(V,F)
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\series bold
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $v_{3}(p_{1})=F$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $v_{3}(p_{2})=V$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
(F,V)
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\series bold
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $v_{4}(p_{1})=F$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $v_{4}(p_{2})=F$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
(F,F)
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\series bold
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
</lyxtabular>

\end_inset


\end_layout

\end_inset

 da equivalência material é:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset VSpace bigskip
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Tabular
<lyxtabular version="3" rows="5" columns="3">
<features tabularvalignment="middle">
<column alignment="center" valignment="top">
<column alignment="center" valignment="top">
<column alignment="center" valignment="top">
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $(\alpha\equiv\beta)$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\series bold
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\series bold
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\series bold
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\series bold
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
</lyxtabular>

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset VSpace bigskip
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
Implicação material
\end_layout

\begin_layout Standard
A implicação é uma função lógica cuja função semântica é estabelecida através
 do seguinte critério, a saber, 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 implica materialmente 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

, se ou o antecedente é falso ou o consequente é verdadeiro 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
cite[p.
 228]{LEWIS1918}
\end_layout

\end_inset

.
 Lewis define a implicação material como 
\shape italic
é falso que o antecedente seja verdadeiro e o consequente falso
\shape default
.
 Ou seja, 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 implica (materialmente) 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

 é logicamente equivalente a 
\begin_inset Formula $\sim(\alpha\land(\sim\beta))$
\end_inset

.
 Portanto, 
\begin_inset Formula $(\alpha\supset\beta)\Leftrightarrow(\sim(\alpha\land(\sim\beta)))$
\end_inset

, e também 
\begin_inset Formula $(\alpha\supset\beta)\Leftrightarrow((\sim\beta)\supset(\sim\alpha))$
\end_inset

 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
cite[p.
 124]{LEWIS1918}
\end_layout

\end_inset

.
 Assim, podemos apresentar a tabela-verdade
\begin_inset Foot
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
A função valorativa 
\shape italic
v
\shape default
 da implicação material é estabelecida da seguinte forma:
\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Tabular
<lyxtabular version="3" rows="5" columns="3">
<features tabularvalignment="middle">
<column alignment="center" valignment="top">
<column alignment="center" valignment="top">
<column alignment="center" valignment="top">
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
Função característica
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
par
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
Valor da Implicação
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $v_{1}(p_{1})=V$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $v_{1}(p_{2})=V$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
<V,V>
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\series bold
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $v_{2}(p_{1})=V$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $v_{2}(p_{2})=F$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
<V,F>
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\series bold
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $v_{3}(p_{1})=F$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $v_{3}(p_{2})=V$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
<F,V>
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\series bold
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $v_{4}(p_{1})=F$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $v_{4}(p_{2})=F$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
<F,F>
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\series bold
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
</lyxtabular>

\end_inset


\end_layout

\end_inset

 para a implicação material:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset VSpace bigskip
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Tabular
<lyxtabular version="3" rows="5" columns="8">
<features tabularvalignment="middle">
<column alignment="center" valignment="top">
<column alignment="center" valignment="top">
<column alignment="center" valignment="top">
<column alignment="center" valignment="top">
<column alignment="center" valignment="top">
<column alignment="center" valignment="top">
<column alignment="center" valignment="top">
<column alignment="center" valignment="top">
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $(\sim\alpha)$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $(\sim\beta)$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $(\alpha\land(\sim\beta))$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $(\alpha\supset\beta)$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\sim(\alpha\land(\sim\beta))$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $(\sim\beta)\supset(\sim\alpha)$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\series bold
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\series bold
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\series bold
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\series bold
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\series bold
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\series bold
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\series bold
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\series bold
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\series bold
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\series bold
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\series bold
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\series bold
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
</lyxtabular>

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset VSpace medskip
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Repare que as colunas em negrito possuem as mesmas características por represent
arem equivalências entre elas.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Consequência lógica
\end_layout

\begin_layout Standard
Introduziremos agora a função de consequência lógica usada na semântica
 da LPC.
 Uma proposição 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

 é consequência lógica de 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

, se e somente se quando não é possível que 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 seja verdadeira e 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

 seja falsa.
 Usaremos o símbolo 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset


\begin_inset Formula $\models$
\end_inset


\begin_inset Quotes erd
\end_inset

 para expressar esta relação.
 Então, 
\begin_inset Formula $\alpha\models\beta$
\end_inset

, se e somente se, para toda valoração 
\shape italic
v
\shape default
, se 
\shape italic
v
\shape default

\begin_inset Formula $(\alpha)$
\end_inset

=V, então 
\shape italic
v
\shape default

\begin_inset Formula $(\beta)$
\end_inset

=V.
 Isso vale também para um conjunto 
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

 de proposições.
 Assim, 
\begin_inset Formula $\Gamma\models\beta$
\end_inset

 expressa que, para toda valoração 
\shape italic
v
\shape default
, se 
\shape italic
v
\shape default

\begin_inset Formula $(\gamma_{i})$
\end_inset

=V, onde 
\begin_inset Formula $\gamma_{i}\in\Gamma$
\end_inset

, então 
\shape italic
v
\shape default

\begin_inset Formula $(\beta)$
\end_inset

=V.
\end_layout

\begin_layout Section
Os paradoxos da implicação material
\end_layout

\begin_layout Standard
Seguindo a definição usada na subseção 2.2.7, a implicação material 
\begin_inset Formula $(\alpha\supset\beta)$
\end_inset

 significa que 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

é falso que 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 seja verdadeira e 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

 seja falsa
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

.
 O que Lewis discute no capítulo 5 em 
\shape italic
A Survey of Symbolic Logic
\shape default
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
cite[p.
 291]{LEWIS1918}
\end_layout

\end_inset

 é que o conectivo 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

implica materialmente
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

, normalmente usado como 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

se...então...
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

, não representa todos os significados dos condicionais em linguagem ordinária.
 A implicação material em si não é problema para o cálculo proposicional.
 Porém, quando nos deparamos com um condicional natural onde não existe
 uma 
\shape italic
conexão factual
\shape default
 entre seus termos (antecedente e consequente) estamos diante de uma implicação
 que não é material, por exemplo, 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

se a lua é feita de queijo, então 2+2=5
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

.
 Repare que este condicional não contém uma 
\shape italic
conexão factual
\begin_inset Note Note
status collapsed

\begin_layout Plain Layout

\shape italic
nem o Rocha entra em detalhes a respeito desta noção.
 só menciona que tais implicações exṕrimem conexao factual entre as proposições
 e a estrita conexao necessaria entre as proposições.
\end_layout

\end_inset


\shape default
 entre as proposições 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
cite{ROCHA2013}
\end_layout

\end_inset

.
 Pois, se não levarmos em conta esse aspecto na formalização, diremos 
\shape italic
simplesmente
\shape default
 que tal condicional material é verdadeiro pelo fato de que seu antecedente
 é falso, independente do valor de verdade do consequente.
 Podemos observar também que, para esta análise, não basta ter somente os
 valores de verdade das proposições para tornar o condicional natural numa
 implicação verdadeira.
 A natureza das proposições também deverá ser levada em conta para que a
 análise lógica da implicação seja consistente.
 Considerando os problemas sobre a natureza das proposições, Lewis traz
 ao cerne de discussão os paradoxos da implicação material 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
cite[p.
 291]{LEWIS1918}
\end_layout

\end_inset

, que se segue abaixo:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Tabular
<lyxtabular version="3" rows="3" columns="2">
<features tabularvalignment="middle">
<column alignment="left" valignment="top">
<column alignment="left" valignment="top">
<row>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\shape italic
P1
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\alpha\models\beta\supset\alpha$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\shape italic
P2
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\sim\alpha\models\alpha\supset\beta$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\shape italic
P3
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\models(\alpha\supset\beta)\lor(\beta\supset\alpha)$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
</lyxtabular>

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset VSpace bigskip
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\shape italic
P1
\shape default
 representa que 
\shape italic
uma proposição supostamente
\begin_inset Note Note
status collapsed

\begin_layout Plain Layout

\shape italic
é supostamente verdadeira.
 mas e pra P2? é supostamente falsa tambem?
\end_layout

\end_inset

 verdadeira é implicada materialmente por qualquer proposição
\shape default
.
 
\shape italic
P2
\shape default
 representa que 
\shape italic
uma proposição falsa implica materialmente qualquer proposição
\shape default
.
 E 
\shape italic
P3
\shape default
 representa que, dada duas quaisquer proposições, 
\shape italic
ou uma proposição implica materialmente a outra ou vice-versa
\shape default
.
 Em linguagem ordinária, estas fórmulas (P1, P2 e P3) dão origem a várias
 afirmações esquisitas.
 Primeiramente, assumiremos 
\begin_inset Formula $\alpha_{1}$
\end_inset

 para 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

João é estudante
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $\beta_{1}$
\end_inset

 para 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

A lua é azul
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

.
 Em 
\shape italic
P1,
\shape default
 o condicional 
\begin_inset Formula $(\beta_{1}\supset\alpha_{1})$
\end_inset

 é verdadeiro, pois se assumirmos que 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

João é estudante
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

 é uma sentença verdadeira, então 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

Se a lua é azul, então João é estudante
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

 é uma sentença verdadeira.
 É estranho afirmarmos alguma relação entre as duas proposições.
 Uma vez que entre elas não há uma relação factual, e assim, não caracterizando
 uma implicação material.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Em 
\shape italic
P2
\shape default
, o paradoxo se caracteriza por afirmar que toda proposição falsa pode implicar
 materialmente qualquer outra proposição.
 Tomamos outro exemplo onde assumimos 
\begin_inset Formula $\alpha_{2}$
\end_inset

 para 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

a lua é azul
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $\beta_{2}$
\end_inset

 para 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

João é estudante
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

.
 Nesse caso, a implicação material 
\begin_inset Formula $(\alpha_{2}\supset\beta_{2})$
\end_inset

 é verdadeira, pois 
\begin_inset Formula $\alpha_{2}$
\end_inset

 é falsa.
 O problema não é assumir a implicação material em si.
 O caráter interpretativo aqui é tentar estabelecer que, com o antecedente
 falso, todo condicional em linguagem ordinária seria verdadeiro.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Em 
\shape italic
P3
\shape default
, o paradoxo afirma que, dadas duas quaisquer proposições, é verdadeiro
 que ou uma implica materialmente a outra ou vice-versa.
 Uma vez que foi verificado que nem todos os condicionais em linguagem ordinária
 é um condicional material, tal afirmação não corresponde a todos os condicionai
s.
 Na tentativa de solucionar os paradoxos da implicação material, Lewis introduz
 uma noção modal de possibilidade que se caracteriza na Implicação Estrita,
 que significa que 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset


\shape italic
é impossível
\shape default
 que 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 seja verdadeira e 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

 seja falsa
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

, ou 
\begin_inset Formula $(\alpha\strictif\beta)$
\end_inset

, onde 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 implica estritamente 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset


\begin_inset Foot
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
Na época, Lewis ainda não gozava de uma semântica que pudesse dar um caráter
 extensional à modalidade.
 Ele estabeleceu princípios axiomáticos com regras que refletem o raciocínio
 lógico intuitivo.
 Em geral, um sistema lógico axiomático é um tipo de sistema formal que
 compreende axiomas, regras de inferência e teoremas deles demonstrados
 cujo o objetivo é estabelecer certos princípios básicos que revelam as
 noções lógicas, por exemplo, o sistema axiomático euclidiano.
 A dificuldade nesse tipo de sistema é que não existe algo que justifique
 os axiomas, pois são dados intuitivamente como primitivos 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
cite[p.
 37]{Girle2003}
\end_layout

\end_inset

.
 Uma das explicações a esta questão era que sem esses princípios axiomáticos
 não poderíamos provar a validade de certos 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

argumentos obviamente válidos
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
cite[p.
 37]{Girle2003}
\end_layout

\end_inset

.
 Lewis não poderia afirmar que seu sistema era correto e completo.
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Girle também aponta que muitos lógicos, como Hunt, adotaram a implicação
 material como única tradução do condicional em linguagem ordinária 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
cite[pág.
 20]{Girle2003}
\end_layout

\end_inset

.
 Ele critica esta posição apontando que é um erro de interpretação indicar
 que todos condicionais da linguagem ordinária podem ser traduzidos para
 a implicação material.
 Veremos então dois apontamentos de Girle que evidenciaram essas discrepâncias.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
O primeiro apontamento está na maneira pela qual são abordados os significados
 dos termos das proposições nos argumentos em linguagem ordinária.
 Verificaremos como a noção de consequência lógica pode evidenciar tal problema
 se olharmos para o conteúdo das proposições.
 A definição de Consequência Lógica, abordada na subseção 2.2.8, estabelece
 que é impossível que, dada uma proposição verdadeira ou um conjunto de
 proposições verdadeiras, se segue uma proposição falsa, ou seja, há uma
 relação de preservação de verdade entre 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

 (
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

) , quando 
\begin_inset Formula $\alpha\models\beta$
\end_inset

 ou 
\begin_inset Formula $\Gamma\models\beta$
\end_inset

 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
cite[p.
 21]{Girle2003}
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Analisemos o seguinte argumento:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{enumerate}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
item[(A1)]
\end_layout

\end_inset

Se Sócrates é homem, então Sócrates é um mamífero.
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash

\backslash

\end_layout

\end_inset

Sócrates é homem.
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash

\backslash

\end_layout

\end_inset

Portanto, Sócrates é mamífero.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{enumerate}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Podemos usar a abreviação
\shape italic
 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset


\shape default
 para 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

Sócrates é homem
\begin_inset Quotes erd
\end_inset


\shape italic
 e 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset


\shape default
 para 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

Sócrates é mamífero
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

.
 O argumento A1 abreviado será:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Tabular
<lyxtabular version="3" rows="3" columns="4">
<features tabularvalignment="middle">
<column alignment="left" valignment="top">
<column alignment="left" valignment="top">
<column alignment="left" valignment="top">
<column alignment="left" valignment="top">
<row>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
Se 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 então 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
premissa
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
premissa
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
Portanto, 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
conclusão
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
</lyxtabular>

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset VSpace bigskip
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Substituindo 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

portanto
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

 pelo símbolo 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset


\begin_inset Formula $\therefore$
\end_inset


\begin_inset Quotes erd
\end_inset

, a forma de A1 na Linguagem L será:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Tabular
<lyxtabular version="3" rows="3" columns="4">
<features tabularvalignment="middle">
<column alignment="left" valignment="top">
<column alignment="left" valignment="top">
<column alignment="left" valignment="top">
<column alignment="left" valignment="top">
<row>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $(\alpha\supset\beta)$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
premissa
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
premissa
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\therefore\beta$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
conclusão
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
</lyxtabular>

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset VSpace bigskip
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
No argumento A1, 
\begin_inset Formula $(\alpha\supset\beta),\,\alpha\models\beta$
\end_inset

, pois não é possível que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa,
 independente do que significam 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

.
 Agora vejamos outra forma de argumento:
\end_layout

\begin_layout Standard
A2
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Tabular
<lyxtabular version="3" rows="3" columns="4">
<features tabularvalignment="middle">
<column alignment="left" valignment="top">
<column alignment="left" valignment="top">
<column alignment="left" valignment="top">
<column alignment="left" valignment="top">
<row>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
Se 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 então 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
premissa
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
premissa
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
Portanto, 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
conclusão
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
</lyxtabular>

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset VSpace bigskip
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Usando as mesmas abreviações, percebemos que a forma do argumento A2 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

 não é consequência lógica
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
eu mudei validade por consequencia lógica.
 Ta certo isso? tambem nao consegui pra introduzir o simbolo de 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

nao é consequencia logica.
\end_layout

\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $(\alpha\supset\beta)$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

, pois podemos encontrar um contraexemplo em que as premissas são verdadeiras
 e a conclusão falsa.
 Por exemplo, um argumento da mesma forma que A2, onde instanciamos 
\shape italic

\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset


\shape default
 para 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

2+2=5
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

 e 
\shape italic

\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset


\shape default
 para 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

2+2=4
\begin_inset Quotes erd
\end_inset


\begin_inset Foot
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{enumerate}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
item[(A1)]
\end_layout

\end_inset

Se 2+2=5, então 2+2=4.
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash

\backslash

\end_layout

\end_inset

2+2=4.
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash

\backslash

\end_layout

\end_inset

Portanto, 2+2=5.
\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{enumerate}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset

, evidenciamos que as premissas são verdadeiras e a conclusão falsa.
 Entretanto, em LPC, os significados dos termos das proposições não são
 traduzidos, e, portanto, o argumento A1 é uma consequência lógica e A2
 não é segundo a forma.
 O que garante a validade desses argumentos é a forma deles.
\end_layout

\begin_layout Standard
Quando olhamos para o conteúdo das proposições, podemos perceber que o argumento
 A2 cuja forma não é uma consequência lógica, pode vir a ser.
 Observe o seguinte argumento A3: 
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{enumerate}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
item[(A3)]
\end_layout

\end_inset

Se Marcos é solteiro, então Marcos é não-casado.
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash

\backslash

\end_layout

\end_inset

Marcos é não-casado.
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash

\backslash

\end_layout

\end_inset

Portanto, Marcos é solteiro.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{enumerate}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset VSpace bigskip
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Se dermos 
\shape italic

\begin_inset Formula $\alpha_{1}$
\end_inset


\shape default
 para 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

Marcos é solteiro
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

 e 
\shape italic

\begin_inset Formula $\beta_{1}$
\end_inset


\shape default
 para 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

Marcos é não-casado
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

, segue-se as abreviações de A3:
\end_layout

\begin_layout Standard
A3
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Tabular
<lyxtabular version="3" rows="3" columns="4">
<features tabularvalignment="middle">
<column alignment="left" valignment="top">
<column alignment="left" valignment="top">
<column alignment="left" valignment="top">
<column alignment="left" valignment="top">
<row>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
Se 
\begin_inset Formula $\alpha_{1}$
\end_inset

 então 
\begin_inset Formula $\beta_{1}$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
premissa
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\beta_{1}$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
premissa
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
Portanto, 
\begin_inset Formula $\alpha_{1}$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
conclusão
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
</lyxtabular>

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset VSpace bigskip
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Traduzindo para Linguagem L, o argumento A3 apresenta a seguinte forma:
\end_layout

\begin_layout Standard
A3
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Tabular
<lyxtabular version="3" rows="3" columns="4">
<features tabularvalignment="middle">
<column alignment="left" valignment="top">
<column alignment="left" valignment="top">
<column alignment="left" valignment="top">
<column alignment="left" valignment="top">
<row>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $(\alpha_{1}\supset\beta_{1})$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
premissa
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\beta_{1}$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
premissa
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\therefore\alpha_{1}$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
conclusão
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
</lyxtabular>

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset VSpace bigskip
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Como foi discutido anteriormente, a forma do argumento A2 não é consequência
 lógica, e, portanto, o argumento A3 também deveria não ser também, pois
 os dois argumentos têm a mesma forma.
 Contudo, quando olhamos para os termos das proposições, por exemplo os
 termos 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

solteiro
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

 e 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

não-casado
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

, observamos que elas podem manter uma relação sinonímica em consideração
 ao significado dos termos.
 Nesse caso, 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

solteiro
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

 e 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

não-casado
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

 seriam sinônimos, pois poderiam ter o mesmo significado.
 O que tornaria o argumento A3 uma consequência lógica é afirmar que 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

x é solteiro
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

 equivale a dizer 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

x é não-casado
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

.
 Portanto, 
\shape italic

\begin_inset Quotes eld
\end_inset

Marcos é solteiro
\begin_inset Quotes erd
\end_inset


\shape default
 equivale a 
\shape italic

\begin_inset Quotes eld
\end_inset

Marcos é não-casado
\shape default

\begin_inset Quotes erd
\end_inset


\begin_inset Foot
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
Uma discussão semelhante em relação ao significado apontada por Quine na
 seção 1 em 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

Dois Dogmas do Empirismo
\begin_inset Quotes erd
\end_inset


\shape italic
,
\shape default
 sobre a qual ele discute a sinonímia cognitiva entre os termos 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

solteiro
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

 e 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

não-casado
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
cite[p.
 236]{QUINE1980}
\end_layout

\end_inset

.
 Segundo Quine, 
\shape italic
Todo solteiro é solteiro
\shape default
 é um enunciado analítico.
 O que dificulta afirmar que 
\shape italic
Todo solteiro é não-casado
\shape default
 é um enunciado analítico é apresentar alguma relação entre os termos 
\shape italic
solteiro
\shape default
 e 
\shape italic
não-casado
\shape default
.
\end_layout

\end_inset

, se levarmos em consideração que 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

Marcos
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

 tem o mesmo referencial nestas sentenças.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset VSpace bigskip
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\color black
O segundo apontamento segue a mesma problemática apresentada anteriormente,
 em achar que todos os condicionais naturais podem ser traduzidos pela implicaçã
o material.

\color red
 
\color inherit
Só que agora Girle segue uma análise dos condicionais negados.
 Consideremos que, se 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 é equivalente a 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

, então 
\begin_inset Formula $(\sim\alpha)$
\end_inset

 é equivalente a 
\begin_inset Formula $(\sim\beta)$
\end_inset

.
 Podemos afirmar que a negação do condicional material
\shape italic
 (Se 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 então 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

) 
\shape default
é equivalente a negação da disjunção inclusiva 
\shape italic
(não 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 ou 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

)
\shape default
, pois possuem a mesma tabela-verdade.
 Analisemos a negação do seguinte condicional 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
cite[p.
 35]{Girle2003}
\end_layout

\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Standard

\shape italic
É falso que se Alemanha tivesse invadido a Inglaterra em 1940, então a Alemanha
 teria ganhado a Segunda Guerra Mundial.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset VSpace bigskip
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
A implicação material é logicamente equivalente a disjunção inclusiva da
 negação do antecedente com o consequente.
 Segue-se que:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $(\alpha\supset\beta)\Leftrightarrow((\sim\alpha)\lor\beta)$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Veja as tabelas de verdade abaixo
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset VSpace bigskip
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Tabular
<lyxtabular version="3" rows="5" columns="3">
<features tabularvalignment="middle">
<column alignment="center" valignment="top">
<column alignment="center" valignment="top">
<column alignment="center" valignment="top">
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $(\alpha\supset\beta)$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\series bold
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\series bold
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\series bold
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\series bold
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
</lyxtabular>

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset VSpace bigskip
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Tabular
<lyxtabular version="3" rows="5" columns="4">
<features tabularvalignment="middle">
<column alignment="center" valignment="top">
<column alignment="center" valignment="top">
<column alignment="center" valignment="top">
<column alignment="center" valignment="top">
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $(\sim\alpha)$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $((\sim\alpha)\lor\beta)$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\series bold
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\series bold
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\series bold
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\series bold
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
</lyxtabular>

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset VSpace bigskip
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\color black
No entanto, ao analisar o problema mais de perto, Girle pondera que este
 condicional não é um condicional material, ou seja, não pode ser traduzido
 para a linguagem formal por uma implicação material
\color inherit
.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Vimos que, por definição, a implicação material 
\begin_inset Formula $(\alpha\supset\beta)$
\end_inset

 é logicamente equivalente a 
\begin_inset Formula $((\sim\alpha)\lor\beta)$
\end_inset

.
 E que, portanto, a negação de 
\begin_inset Formula $(\alpha\supset\beta)$
\end_inset

 é equivalente a negação de 
\begin_inset Formula $((\sim\alpha)\lor\beta)$
\end_inset

.
 
\color black
Para LPC, 
\color inherit

\begin_inset Formula $(\sim(\alpha\supset\beta))$
\end_inset


\color black
 é equivalente a 
\color inherit

\begin_inset Formula $(\alpha\land(\sim\beta))$
\end_inset

.
 Segue abaixo as equivalências:
\end_layout

\begin_layout Standard
1 
\begin_inset Formula $(\sim(\alpha\supset\beta))\Leftrightarrow(\sim((\sim\alpha)\lor\beta))$
\end_inset

 — segue-se por equivalência
\end_layout

\begin_layout Standard
2 
\begin_inset Formula $(\sim((\sim\alpha)\lor\beta))\Leftrightarrow(\alpha\land(\sim\beta))$
\end_inset

 — segue por 
\shape italic
De Morgan
\begin_inset Foot
status collapsed

\begin_layout Plain Layout

\shape italic
De Morgan: 
\begin_inset Formula $(\sim(p\lor q))\equiv((\sim p)\land(\sim q))$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

 
\shape default
e dupla negação
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Dupla negação: 
\begin_inset Formula $\alpha\Leftrightarrow(\sim(\sim\alpha))$
\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
3 
\begin_inset Formula $\alpha\Leftrightarrow\beta$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\beta\Leftrightarrow\gamma$
\end_inset

, então 
\begin_inset Formula $\alpha\Leftrightarrow\gamma$
\end_inset

 — propriedade de transitividade para equivalência lógica
\begin_inset Note Note
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
é desse jeito a propriedade de transitividade para equivalencia lógica?
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
4 
\begin_inset Formula $(\sim(\alpha\supset\beta))\Leftrightarrow(\alpha\land(\sim\beta))$
\end_inset

 — esta equivalência se segue de 1 e 2
\begin_inset Note Note
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\Leftrightarrow$
\end_inset

 recebe parênteses? na sintaxe proposta no inicio ele não aparece como formula,
 ou nao aparece como conectivo.
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset VSpace bigskip
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\color black
O paradoxo da implicação material agora encara a crítica de Girle no que
 concerne às equivalências materiais, apontando que estas equivalências
 são paradoxais pelo fato de que alguns condicionais naturais não são materiais
\color inherit
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
cite[p.
 36]{Girle2003}
\end_layout

\end_inset

.
 Se for verdadeiro que 
\shape italic

\begin_inset Quotes eld
\end_inset

É falso que se Alemanha tivesse invadido a Inglaterra em 1940, então a Alemanha
 teria ganhado a Segunda Guerra Mundial
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

, 
\shape default
então sua equivalência lógica 
\color black
deveria ser também verdadeira.

\color inherit
 Contudo, podemos afirmar que 
\shape italic

\begin_inset Quotes eld
\end_inset

A Alemanha invadiu a Inglaterra em 1940 e não ganhou a Segunda Guerra Mundial
\begin_inset Quotes erd
\end_inset


\shape default
 é uma conjunção falsa, pois a Alemanha não invadiu a Inglaterra em 1940.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
A noção lógica de implicação estrita apresentada por Lewis foi uma tentativa
 de resolução dos paradoxos apresentados na implicação material em linguagem
 ordinária.
 Porém, Lewis não estabeleceu uma semântica satisfatória que estabeleça
 a corretude e completude do seu sistema
\begin_inset Foot
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
Um sistema é correto se 
\begin_inset Formula $\vdash\alpha$
\end_inset

, então 
\begin_inset Formula $\models\alpha$
\end_inset

.
 Isto é, se uma proposição 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 é derivável no sistema, então ela é válida.
 E, num sistema completo, se 
\begin_inset Formula $\models\alpha$
\end_inset

, então 
\begin_inset Formula $\vdash\alpha$
\end_inset

.
 Ou seja, se uma proposição 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 é válida, então ela é derivável no sistema.
\end_layout

\end_inset

, acabando por alguns lógicos contemporâneos de Lewis desconfiarem do alcance
 da implicação estrita.
 Além disso, a implicação estrita encarou problemas similares em relação
 à implicação material
\begin_inset Foot
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
São os seguintes paradoxos:
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

\shape italic
P1'
\shape default
 
\begin_inset Formula $\Square\alpha\models(\beta\strictif\alpha)$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout

\shape italic
P2'
\shape default
 
\begin_inset Formula $\sim\lozenge\alpha\models(\alpha\strictif\beta)$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
cite{ROCHA2013}
\end_layout

\end_inset

.
 Com o estabelecimento da Semântica de Mundos Possíveis (SMP) por Kripke
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
cite{KRIPKE1959}
\end_layout

\end_inset

, a Lógica Proposicional Modal adquiri uma perspectiva mais sistemática
 em relação à noção modal estabelecida por Lewis.
 A intenção de Kripke foi tornar a noção modal lewisiana intensional numa
 modalidade extensional, através da inserção de uma entidade primitiva denominad
a de 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

mundos possíveis
\begin_inset Quotes erd
\end_inset


\begin_inset Foot
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
Como veremos no próximo capítulo, a noção filosófica dessa entidade chamada
 de 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

mundos possíveis
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

 não é levada em questão pela Lógica Modal 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
cite[p.
 2]{KRIPKE1959}
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\end_inset

.
 Na semântica extensional, basta ter os valores de verdade das proposições
 componentes para apresentarmos o valor de verdade das proposições complexas.
 Por exemplo, se 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

 são proposições verdadeiras, então 
\begin_inset Formula $(\alpha\land\beta)$
\end_inset

 é verdadeira.
 Diferentemente, na semântica intensional, não basta ter o valor de verdade
 de 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 para estabelecer o valor de 
\begin_inset Formula $\Square\alpha$
\end_inset


\begin_inset Foot
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
Veremos também no próximo capítulo, a caixa 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset


\begin_inset Formula $\Square$
\end_inset


\begin_inset Quotes erd
\end_inset

 representa a noção modal de necessidade.
 
\end_layout

\end_inset

, pois não sabemos a natureza de 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Chapter
Lógica proposicional modal
\end_layout

\begin_layout Standard
Antes de iniciarmos a análise da Lógica Proposicional Modal (LPM), vale
 a pena ressaltar que o trabalho técnico em Lógica Modal não se precisa
 estabelecer uma discussão filosófica do conceito de 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

mundos possíveis
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

.
 Entretanto, muitos filósofos e lógicos entraram nesse debate filosófico
 e apresentaram diversas interpretações acerca de 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

mundos possíveis
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

, como, por exemplo, Kripke, Plantinga, David Lewis, Stalnaker, Armstrong
 entre outros
\begin_inset Foot
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
Em outra ocasião trataremos deste debate filosófico, pois é de grande importânci
a a discussão filosófica sobre a ontologia de mundos possíveis.
\end_layout

\end_inset

.
 O mais importante para a lógica modal e para o intuito deste trabalho é
 entender que esta entidade é primitiva e nos ocuparemos em trazer o desenvolvim
ento da semântica de mundos possíveis na LPM.
\end_layout

\begin_layout Standard
Assim como na LPC, a Lógica Proposicional Modal desenvolveu também uma sintaxe
 e uma semântica (de mundos possíveis).
 Se acreditarmos que a LPM é uma extensão da LPC, podemos avançar este capítulo
 assumindo as noções lógicas primitivas em LPC como negação, conjunção,
 disjunção inclusiva, equivalência material, implicação material, todas
 apresentadas no capítulo anterior, e inserindo agora as noções de possibilidade
 e necessidade.
 Como já foi discutido, Lewis apresenta a noção modal de possibilidade para
 dar conta dos paradoxos apresentados na implicação material em inferências
 ordinárias e define a implicação estrita em termos de 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

é impossível que...
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

.
 Em geral, definimos a implicação estrita lewisiana numa relação de necessidade
 entre os componentes da implicação material e isto é possível porque há
 uma equivalência entre as noções de possibilidade e necessidade
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $(\alpha\strictif\beta)$
\end_inset

 é logicamente equivalente a 
\begin_inset Formula $\Square(\alpha\supset\beta)$
\end_inset

.
 Assim, 
\begin_inset Formula $(\alpha\strictif\beta)\Leftrightarrow\Square(\alpha\supset\beta)$
\end_inset

 é obtida da seguinte forma:
\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Tabular
<lyxtabular version="3" rows="5" columns="5">
<features tabularvalignment="middle">
<column alignment="center" valignment="top">
<column alignment="right" valignment="top">
<column alignment="center" valignment="top">
<column alignment="left" valignment="top">
<column alignment="left" valignment="top">
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
1
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="right" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $(\alpha\strictif\beta)$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\Leftrightarrow$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\sim\diamondsuit(\alpha\land(\sim\beta))$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
Definição lewisiana para implicação estrita.
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
2
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="right" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\sim\diamondsuit\alpha$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\Leftrightarrow$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\Square\sim\alpha$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
Equivalência apresentada por Lewis.
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
3
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="right" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\sim\diamondsuit(\alpha\land(\sim\beta))$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\Leftrightarrow$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\Square\sim(\alpha\land(\sim\beta))$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
Esta equivalência se segue de 1 e 2.
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
4
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="right" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $(\alpha\supset\beta)$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\Leftrightarrow$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\sim(\alpha\land(\sim\beta))$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
Por equivalência lógica.
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
5
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="right" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $(\alpha\strictif\beta)$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\Leftrightarrow$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\Square(\alpha\supset\beta)$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="left" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
Esta equivalência se segue de 3 e 4.
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
</lyxtabular>

\end_inset


\end_layout

\end_inset

 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
cite[p.
 3]{GIRLE2000}
\end_layout

\end_inset

.
 O símbolo de possibilidade é representado pelo diamante 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset


\begin_inset Formula $\diamondsuit$
\end_inset


\begin_inset Quotes erd
\end_inset

 e o símbolo de necessidade pela caixa 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset


\begin_inset Formula $\Square$
\end_inset


\begin_inset Quotes erd
\end_inset

.
 Assim, 
\begin_inset Formula $\diamondsuit\alpha$
\end_inset

 representa 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

é possível que 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset


\begin_inset Quotes erd
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $\Square\alpha$
\end_inset

 representa 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

é necessário que 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset


\begin_inset Quotes erd
\end_inset


\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Há outros símbolos que podem caracterizar a possibilidade e a necessidade,
 respectivamente, 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

M
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

 e 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

L
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
cite[p.
 3]{GIRLE2000}
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\end_inset

.
 Estas noções modais são interdefiníveis 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
cite[p.
 3]{GIRLE2000}
\end_layout

\end_inset


\begin_inset Foot
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
Também em 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
cite[p.
 292]{LEWIS1918}
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Tabular
<lyxtabular version="3" rows="4" columns="4">
<features tabularvalignment="middle">
<column alignment="center" valignment="top">
<column alignment="center" valignment="top">
<column alignment="center" valignment="top">
<column alignment="center" valignment="top">
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
1
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\sim\diamondsuit\alpha$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\Leftrightarrow$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\Square\sim\alpha$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
2
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\diamondsuit\sim\alpha$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\Leftrightarrow$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\sim\Square\alpha$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
3
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\diamondsuit\alpha$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\Leftrightarrow$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\sim\Square\sim\alpha$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
4
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\Square\alpha$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\Leftrightarrow$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\sim\diamondsuit\sim\alpha$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
</lyxtabular>

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Todos os sistemas que serão apresentados aqui são baseados em mais uma obra
 de Girle intitulada 
\shape italic
Modal Logics and Philosophy
\shape default
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
nocite{GIRLE2000}
\end_layout

\end_inset

.
 Vale a pena ressaltar que a LPM não só trabalha com possibilidade e necessidade
, isto é, não se resume apenas às noções modais aléticas.
 Ela pode trabalhar também com noções de conhecimento, crença, tempo, mudança
 e obrigação.
 E podemos caracterizar cada uma, respectivamente, em lógicas epistêmicas,
 doxáticas, temporais, dinâmicas e deônticas, comportando um número maior
 de noções lógicas para dar conta de outros termos em linguagem ordinária.
 
\end_layout

\begin_layout Section
Sintaxe da LPM
\end_layout

\begin_layout Standard
Acrescentaremos à sintaxe da nossa linguagem L regras de boa-formação referentes
 a estas duas noções modais aléticas, que se seguem abaixo:
\end_layout

\begin_layout Itemize
Se 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 é uma 
\series bold
FBF
\series default
, então 
\begin_inset Formula $\diamondsuit\alpha$
\end_inset

 é uma 
\series bold
FBF
\series default
;
\end_layout

\begin_layout Itemize
Se 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 é uma 
\series bold
FBF
\series default
, então 
\begin_inset Formula $\Square\alpha$
\end_inset

 é uma 
\series bold
FBF
\series default
.
\end_layout

\begin_layout Standard
Desta forma, não há muito o que acrescentar à sintaxe da LPM, pois estamos
 assumindo de antemão toda àquela estrutura sintática estabelecida no capítulo
 anterior e mais estas duas regras 
\begin_inset Foot
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
Em seus sistemas axiomáticos (S1, S2, S3, S4 e S5), CI Lewis 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
cite[p.
 225]{LEWIS1918}
\end_layout

\end_inset

 trabalhou com as noções de negação 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset


\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$-$
\end_layout

\end_inset


\begin_inset Quotes erd
\end_inset

, conjunção 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset


\begin_inset Formula $\times$
\end_inset


\begin_inset Quotes erd
\end_inset

 (ou a partir da concatenação de duas fórmulas), disjunção 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

+
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

, implicação material 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset


\begin_inset Formula $\subset$
\end_inset


\begin_inset Quotes erd
\end_inset

 e depois impossibilidade 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset


\series bold

\begin_inset Formula $\thicksim$
\end_inset


\series default

\begin_inset Quotes erd
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Semântica da LPM 
\end_layout

\begin_layout Standard
Inicialmente, poderíamos caracterizar semanticamente estas duas noções modais,
 possibilidade e necessidade, afirmando que uma 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

proposição é possível
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

 quando ela é verdadeira pelo menos em 
\shape italic
algum
\shape default
 mundo possível e que uma 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

proposição é necessária
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

 quando ela é verdadeira em 
\shape italic
todos
\shape default
 os mundos possíveis 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
cite[p.
 2]{KRIPKE1959}
\end_layout

\end_inset


\begin_inset Foot
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
Também em 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
cite[p.
 15]{GIRLE2000}
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\end_inset

.
 No início do século XX, CI Lewis formulou cinco sistemas axiomáticos para
 a implicação estrita, a saber, sistema 1, sistema 2, sistema 3, sistema
 4, sistema 5 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
cite{LEWIS1918}
\end_layout

\end_inset

, sendo este último aquele que captura exatamente o significado das noções
 modais aléticas.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
De acordo com o que foi mencionado acima, temos as seguintes regras semânticas
 para 
\begin_inset Formula $\Square$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $\diamondsuit$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $\Square$
\end_inset

-Sem 
\begin_inset Formula $\Square\alpha$
\end_inset

 é V em 
\begin_inset Formula $w$
\end_inset

 se e somente se 
\begin_inset Formula $\forall v$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 é V em 
\begin_inset Formula $v$
\end_inset

, onde 
\begin_inset Formula $w$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $v$
\end_inset

 referem-se a mundos possíveis
\begin_inset Note Note
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
o prof guitarrari menciona que nao está claro a natureza de w e v.
 Sendo que eles são denominados por mundos possiveis, como mencionar a natureza
 deles?
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $\diamondsuit$
\end_inset

-Sem 
\begin_inset Formula $\diamondsuit\alpha$
\end_inset

 é V em 
\begin_inset Formula $w$
\end_inset

 se e somente se 
\begin_inset Formula $\exists v$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 é V em 
\begin_inset Formula $v$
\end_inset

, onde 
\begin_inset Formula $w$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $v$
\end_inset

 referem-se a mundos possíveis
\end_layout

\begin_layout Standard
Mais adiante, veremos que essas regras serão relativizadas através das relações
 de acessibilidade entre os mundos possíveis 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
cite[p.
 13]{GIRLE2000}
\end_layout

\end_inset

 com o intuito de dar conta das diversas noções modais aplicadas à linguagem
 ordinária.
 As regras semânticas acima introduzem o seguinte problema: em sistemas
 modais doxáticos e deônticos, onde reflexividade não vale para a relação
 de acessibilidade, a proposição 
\begin_inset Formula $(\Square\alpha\supset\alpha)$
\end_inset

 deveria ser inválida, pois parece plausível dizer que do fato de um agente
 cognoscente acreditar em uma proposição 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 não se segue necessariamente que 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 é verdadeira e do fato que é obrigatório que 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 não se segue necessariamente que 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 é o caso.
 Isso será discutido mais a frente.
\end_layout

\begin_layout Standard
As demais noções lógicas assumidas em LPC se regulamentam em LPM da seguinte
 forma.
 Arbitrariamente assumimos um mundo possível
\shape italic
 w
\shape default
, então:
\end_layout

\begin_layout Description
Dupla
\begin_inset Formula $\,$
\end_inset

negação 
\begin_inset Formula $\sim(\sim\alpha)$
\end_inset

 é V em 
\begin_inset Formula $w$
\end_inset

 se e somente se 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 é V em 
\begin_inset Formula $w$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Description
Disjunção 
\begin_inset Formula $(\alpha\lor\beta)$
\end_inset

 é V em 
\begin_inset Formula $w$
\end_inset

 se e somente se 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 é V em 
\begin_inset Formula $w$
\end_inset

 ou 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

 é V em 
\begin_inset Formula $w$
\end_inset

 (ou ambos).
\end_layout

\begin_layout Description
Conjunção 
\begin_inset Formula $(\alpha\wedge\beta)$
\end_inset

 é V em 
\begin_inset Formula $w$
\end_inset

 se e somente se 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 é V em 
\begin_inset Formula $w$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

 é V em 
\begin_inset Formula $w$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Description
Implicação-material 
\begin_inset Formula $(\alpha\supset\beta)$
\end_inset

 é V em 
\begin_inset Formula $w$
\end_inset

 se e somente se ou 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 é F em 
\begin_inset Formula $w$
\end_inset

 ou 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

 é V em 
\begin_inset Formula $w$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Description
Equivalência-material 
\begin_inset Formula $(\alpha\equiv\beta)$
\end_inset

 é V em 
\begin_inset Formula $w$
\end_inset

 se e somente se 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

 tiverem o mesmo valor de verdade em 
\begin_inset Formula $w$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Se assumirmos essas regras semânticas, então a fórmula 
\begin_inset Formula $(\Square\alpha\supset\alpha)$
\end_inset

 será válida.
\end_layout

\begin_layout Standard
(por redução ao absurdo): assuma que 
\begin_inset Formula $(\Square\alpha\supset\alpha)$
\end_inset

 não é válida.
 Pelas regras acima, significa que existe um mundo possível, digamos 
\begin_inset Formula $w$
\end_inset

, no qual ela é falsa.
 Pela regra da implicação, isso significa que 
\begin_inset Formula $\Square\alpha$
\end_inset

 é V em 
\begin_inset Formula $w$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 é F em 
\begin_inset Formula $w.$
\end_inset

 Por outro lado, 
\begin_inset Formula $\Square\alpha$
\end_inset

 é V em 
\begin_inset Formula $w$
\end_inset

 sse 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 é V em todos os mundos possíveis, em particular, em 
\begin_inset Formula $w$
\end_inset

.
 Portanto, 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 teria de ser V e F em 
\begin_inset Formula $w$
\end_inset

, o que é uma contradição.
\end_layout

\begin_layout Standard
A validade de 
\begin_inset Formula $(\Square\alpha\supset\alpha)$
\end_inset

 demonstra que as estipulações semânticas acima são inadequadas para interpretar
 noções doxáticas e deônticas.
 Daí a necessidade de introduzir as relações de acessibilidade.
\end_layout

\begin_layout Subsection
As relações de acessibilidade e a LPM
\end_layout

\begin_layout Standard
Para resolver o problema mencionado acima, introduziremos uma relação binária
 primitiva 
\begin_inset Formula $xAy$
\end_inset

 chamada de relação de acessibilidade entre mundos possíveis que significa
 que o mundo 
\begin_inset Formula $y$
\end_inset

 é acessível a partir de 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

.
 Com isso, fazemos as seguintes modificações em 
\begin_inset Formula $\Square$
\end_inset

-Sem e 
\begin_inset Formula $\diamondsuit$
\end_inset

-Sem:
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $\Square$
\end_inset

-Sem* 
\begin_inset Formula $\Square\alpha$
\end_inset

 é V em 
\begin_inset Formula $w$
\end_inset

 se e somente se 
\begin_inset Formula $\forall v$
\end_inset

, se 
\begin_inset Formula $wAv$
\end_inset

, então 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 é V em 
\begin_inset Formula $v$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $\diamondsuit$
\end_inset

-Sem* 
\begin_inset Formula $\diamondsuit\alpha$
\end_inset

 é V em 
\begin_inset Formula $w$
\end_inset

 se e somente se 
\begin_inset Formula $\exists v$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $wAv$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 é V em 
\begin_inset Formula $v$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
A relação de acessibilidade pode possuir certas características, entre as
 quais podemos destacar as propriedades de reflexividade
\begin_inset Foot
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
Uma relação 
\begin_inset Formula $R$
\end_inset

 é reflexiva sobre um determinado domínio de objetos se todos eles estiverem
 nesta relação consigo mesmos.
 
\end_layout

\end_inset

, simetria
\begin_inset Foot
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
Uma relação 
\begin_inset Formula $R$
\end_inset

 é simétrica sobre um domínio de objetos se para quaisquer dois objetos
 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $y$
\end_inset

, se 
\begin_inset Formula $R(x,y)$
\end_inset

, então 
\begin_inset Formula $R(y,x)$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset

 e transitividade
\begin_inset Foot
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
Uma relação 
\begin_inset Formula $R$
\end_inset

 é transitiva sobre um domínio de objetos se para quaisquer três objetos
 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

,
\begin_inset Formula $y$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $z$
\end_inset

, se 
\begin_inset Formula $R(x,y)$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $R(y,z)$
\end_inset

, então 
\begin_inset Formula $R(x,z)$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset

.
 É possível obter diferentes tipos de sistemas modais a partir da combinação
 dessas propriedades.
\end_layout

\begin_layout Section
Árvores de refutação para LPM
\end_layout

\begin_layout Standard
Nessa seção, serão estabelecidas regras sintáticas para produção de árvores
 de refutação para LPM
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Essas regras sintáticas são parasitárias das regras semânticas mencionadas
 em 3.2 e 3.2.1.
\end_layout

\end_inset

.
 Em relação aos conectivos lógicos que ocorrem apenas em LPC, não há nenhuma
 mudança drástica.
 É necessário apenas introduzir a indexação a mundos possíveis.
 Portanto, temos as seguintes regras
\begin_inset Note Note
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
no comentario ele diz que essas regras dentro de uma semantica deveriam
 ser validas.
 Onde que isso nao é claro aqui? ele diz que 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

de outro modo, voce está misturando a apresentaçao de lógica de uma maneira
 semantica como uma em que apresenta como um conjunto de regras (de mera
 troca de simbolos).
 sinceramente, nao entendi muito bem.
\end_layout

\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Itemize
Dupla Negação:
\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
psscalebox{1.0 1.0} % Change this value to rescale the drawing.
 
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

{ 
\backslash
begin{pspicture}(0,-0.775)(2.13,0.775) 
\backslash
rput[bl](0.0,0.425){$
\backslash
sim
\backslash
sim 
\backslash
alpha$} 
\backslash
rput[bl](1.6,0.425){($w$)} 
\backslash
rput[bl](0.4,-0.375){$
\backslash
vdots$} 
\backslash
rput[bl](0.4,-0.775){$
\backslash
alpha$} 
\backslash
rput[bl](1.6,-0.775){($w$)} 
\backslash
end{pspicture} }
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
Conjunção Comutativa:
\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
psscalebox{1.0 1.0} % Change this value to rescale the drawing.
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

{ 
\backslash
begin{pspicture}(0,-1.2174512)(2.13,1.2174512) 
\backslash
rput[bl](0.4,0.46745118){$
\backslash
vdots$} 
\backslash
rput[bl](1.6,0.8674512){($w$)} 
\backslash
rput[bl](0.8,-0.33254883){($w$)} 
\backslash
rput[bl](0.8,-1.1325488){($w$)} 
\backslash
rput[bl](0.4,-0.33254883){$
\backslash
alpha$} 
\backslash
rput[bl](0.0,0.8674512){($
\backslash
alpha
\backslash
wedge
\backslash
beta$)} 
\backslash
rput[bl](0.4,-1.1325488){$
\backslash
beta$} 
\backslash
end{pspicture} }
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset VSpace medskip
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
psscalebox{1.0 1.0} % Change this value to rescale the drawing.
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

{ 
\backslash
begin{pspicture}(0,-0.975)(3.33,0.975) 
\backslash
rput[bl](1.6,0.225){$
\backslash
vdots$} 
\backslash
rput[bl](2.8,0.625){($w$)} 
\backslash
rput[bl](0.8,-0.975){($w$)} 
\backslash
rput[bl](2.8,-0.975){($w$)} 
\backslash
psline[linecolor=black, linewidth=0.04](1.6,-0.175)(0.4,-0.575) 
\backslash
psline[linecolor=black, linewidth=0.04](1.6,-0.175)(2.8,-0.575) 
\backslash
rput[bl](0.0,-0.975){$
\backslash
sim
\backslash
alpha$} 
\backslash
rput[bl](2.0,-0.975){$
\backslash
sim
\backslash
beta$} 
\backslash
rput[bl](0.8,0.625){$
\backslash
sim$($
\backslash
alpha
\backslash
wedge
\backslash
beta$)} 
\backslash
end{pspicture} } 
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
Equivalência Material:
\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
psscalebox{1.0 1.0} % Change this value to rescale the drawing.
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

{ 
\backslash
begin{pspicture}(0,-1.375)(3.3363245,1.375) 
\backslash
rput[bl](0.8063245,1.025){($
\backslash
alpha
\backslash
equiv
\backslash
beta$)} 
\backslash
rput[bl](1.2063245,0.625){$
\backslash
vdots$} 
\backslash
psline[linecolor=black, linewidth=0.04](1.2063245,0.225)(2.4063244,-0.175) 
\backslash
psline[linecolor=black, linewidth=0.04](1.2063245,0.225)(0.006324463,-0.175)
 
\backslash
rput[bl](0.006324463,-0.575){$
\backslash
alpha$} 
\backslash
rput[bl](0.40632448,-0.575){($w$)} 
\backslash
rput[bl](2.4063244,1.025){($w$)} 
\backslash
rput[bl](0.006324463,-1.375){$
\backslash
beta$} 
\backslash
rput[bl](0.40632448,-1.375){($w$)} 
\backslash
rput[bl](2.0063245,-0.575){$
\backslash
sim
\backslash
alpha$} 
\backslash
rput[bl](2.0063245,-1.375){$
\backslash
sim
\backslash
beta$} 
\backslash
rput[bl](2.8063245,-0.575){($w$)} 
\backslash
rput[bl](2.8063245,-1.375){($w$)} 
\backslash
end{pspicture} }
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset VSpace medskip
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
psscalebox{1.0 1.0} % Change this value to rescale the drawing.
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

{ 
\backslash
begin{pspicture}(0,-1.575)(3.33,1.575) 
\backslash
rput[bl](1.6,0.825){$
\backslash
vdots$} 
\backslash
rput[bl](2.8,1.225){($w$)} 
\backslash
rput[bl](0.8,-0.775){($w$)} 
\backslash
rput[bl](2.8,-0.775){($w$)} 
\backslash
psline[linecolor=black, linewidth=0.04](1.6,0.425)(0.4,0.025) 
\backslash
psline[linecolor=black, linewidth=0.04](1.6,0.425)(2.8,0.025) 
\backslash
rput[bl](2.0,-0.775){$
\backslash
sim
\backslash
alpha$} 
\backslash
rput[bl](0.0,-1.575){$
\backslash
sim
\backslash
beta$} 
\backslash
rput[bl](0.8,1.225){$
\backslash
sim$($
\backslash
alpha
\backslash
equiv
\backslash
beta$)} 
\backslash
rput[bl](2.4,-1.575){$
\backslash
beta$} 
\backslash
rput[bl](0.4,-0.775){$
\backslash
alpha$} 
\backslash
rput[bl](2.8,-1.575){($w$)} 
\backslash
rput[bl](0.8,-1.575){($w$)} 
\backslash
end{pspicture} }
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
Implicação Material:
\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
psscalebox{1.0 1.0} % Change this value to rescale the drawing.
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

{ 
\backslash
begin{pspicture}(0,-1.175)(3.33,1.175) 
\backslash
rput[bl](1.6,0.425){$
\backslash
vdots$} 
\backslash
rput[bl](2.8,0.825){($w$)} 
\backslash
rput[bl](0.8,-1.175){($w$)} 
\backslash
psline[linecolor=black, linewidth=0.04](1.6,0.025)(0.4,-0.375) 
\backslash
psline[linecolor=black, linewidth=0.04](1.6,0.025)(2.8,-0.375) 
\backslash
rput[bl](0.0,-1.175){$
\backslash
sim
\backslash
alpha$} 
\backslash
rput[bl](2.4,-1.175){$
\backslash
beta$} 
\backslash
rput[bl](2.8,-1.175){($w$)} 
\backslash
rput[bl](1.2,0.825){($
\backslash
alpha
\backslash
supset
\backslash
beta$)} 
\backslash
end{pspicture} }
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset VSpace medskip
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
psscalebox{1.0 1.0} % Change this value to rescale the drawing.
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

{ 
\backslash
begin{pspicture}(0,-1.175)(2.53,1.175) 
\backslash
rput[bl](0.8,0.425){$
\backslash
vdots$} 
\backslash
rput[bl](2.0,0.825){($w$)} 
\backslash
rput[bl](1.2,-0.375){($w$)} 
\backslash
rput[bl](1.2,-1.175){($w$)} 
\backslash
rput[bl](0.0,0.825){$
\backslash
sim$($
\backslash
alpha
\backslash
supset
\backslash
beta$)} 
\backslash
rput[bl](0.8,-0.375){$
\backslash
alpha$} 
\backslash
rput[bl](0.4,-1.175){$
\backslash
sim
\backslash
beta$} 
\backslash
end{pspicture} }
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Agora, estabeleceremos as regras para os conectivos modais 
\begin_inset Formula $\Square$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $\diamondsuit$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
Regra de Possibilidade 
\begin_inset Formula $\diamondsuit$
\end_inset

-Sem*: É uma regra 
\shape italic
geradora
\shape default
 de mundos.
\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
psscalebox{1.0 1.0} % Change this value to rescale the drawing.
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

{ 
\backslash
begin{pspicture}(0,-0.775)(1.33,0.775) 
\backslash
rput[bl](0.8,0.425){($w$)} 
\backslash
rput[bl](0.0,-0.775){$
\backslash
alpha$} 
\backslash
rput[bl](0.4,-0.775){($v$)} 
\backslash
rput[bl](0.0,-0.375){$wAv$} 
\backslash
rput[bl](0.0,0.025){$
\backslash
vdots$} 
\backslash
rput[bl](0.0,0.425){$
\backslash
diamondsuit
\backslash
alpha$} 
\backslash
end{pspicture} }
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Essa regra diz que se 
\begin_inset Formula $\diamondsuit\alpha$
\end_inset

 é verdadeira em 
\begin_inset Formula $w$
\end_inset

, então tem de existir um mundo possível 
\begin_inset Formula $v$
\end_inset

 acessível a partir de 
\begin_inset Formula $w$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 seja verdadeira.
\end_layout

\begin_layout Itemize
Regra de Necessidade 
\begin_inset Formula $\Square$
\end_inset

-Sem*: É a regra que 
\shape italic
preenchedora
\shape default
 de mundos.
\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
psscalebox{1.0 1.0} % Change this value to rescale the drawing.
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

{ 
\backslash
begin{pspicture}(0,-0.775)(1.33,0.775) 
\backslash
rput[bl](0.8,0.425){($w$)} 
\backslash
rput[bl](0.0,-0.775){$
\backslash
alpha$} 
\backslash
rput[bl](0.4,-0.775){($v$)} 
\backslash
rput[bl](0.0,0.025){$wAv$} 
\backslash
rput[bl](0.0,-0.375){$
\backslash
vdots$} 
\backslash
rput[bl](0.0,0.425){$
\backslash
square
\backslash
alpha$} 
\backslash
end{pspicture} }
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Ou seja, se 
\begin_inset Formula $\Square\alpha$
\end_inset

 é verdadeira em 
\begin_inset Formula $w$
\end_inset

, então 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 será verdadeira em qualquer mundo possível acessível a partir de 
\begin_inset Formula $w$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
Negação Modal (MN): Esta regra está fundamentada na relação de interdefinibilida
de entre as noções modais aléticas.
\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
psscalebox{1.0 1.0} % Change this value to rescale the drawing.
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

{ 
\backslash
begin{pspicture}(0,-0.575)(1.73,0.575) 
\backslash
rput[bl](1.2,0.225){($w$)} 
\backslash
rput[bl](0.4,-0.175){$
\backslash
vdots$} 
\backslash
rput[bl](0.0,0.225){$
\backslash
sim
\backslash
diamondsuit
\backslash
alpha$} 
\backslash
rput[bl](0.0,-0.575){$
\backslash
square
\backslash
sim
\backslash
alpha$} 
\backslash
rput[bl](1.2,-0.575){($w$)} 
\backslash
end{pspicture} }
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
psscalebox{1.0 1.0} % Change this value to rescale the drawing.
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

{ 
\backslash
begin{pspicture}(0,-0.575)(1.73,0.575) 
\backslash
rput[bl](1.2,0.225){($w$)} 
\backslash
rput[bl](0.4,-0.13254882){$
\backslash
vdots$} 
\backslash
rput[bl](1.2,-0.53254884){($w$)} 
\backslash
rput[bl](0.0,0.26745117){$
\backslash
sim
\backslash
square
\backslash
alpha$} 
\backslash
rput[bl](0.0,-0.53254884){$
\backslash
diamondsuit
\backslash
sim
\backslash
alpha$} 
\backslash
end{pspicture} }
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Finalmente, temos a regra de fechamento:
\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
psscalebox{1.0 1.0} % Change this value to rescale the drawing.
 
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

{ 
\backslash
begin{pspicture}(0,-0.975)(2.53,0.975) 
\backslash
rput[bl](0.4,0.625){$
\backslash
alpha$} 
\backslash
rput[bl](2.0,0.625){($w$)} 
\backslash
rput[bl](0.4,0.225){$
\backslash
vdots$} 
\backslash
rput[bl](0.0,-0.575){$
\backslash
sim
\backslash
alpha$} 
\backslash
rput[bl](2.0,-0.575){($w$)} 
\backslash
rput[bl](0.4,-0.975){$
\backslash
times$ } 
\backslash
end{pspicture} }
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Essa regra diz que toda ramificação na qual 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $\sim\alpha$
\end_inset

 ocorrem é fechada
\begin_inset Foot
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
Uma ramificação é fechada, ou seja, não se deriva mais, quando dentro do
 ramo encontra-se uma contradição.
\end_layout

\end_inset


\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
ele pergunta a noção de fechada.
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Sistema K
\end_layout

\begin_layout Standard
O sistema K é o sistema de lógica proposicional modal normal mais simples
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Toda fórmula válida em K será válida em qualquer sistema proposicional modal
 aqui apresentado.
\end_layout

\end_inset

.
 Nele nenhuma propriedade a respeito da relação de acessibilidade entre
 mundos possíveis é assumida.
 Em tal sistema, as tautologias de LPC são todas válidas.
 Além disso, a seguinte fórmula 
\begin_inset Formula $\square(\alpha\supset\beta)\supset(\square\alpha\supset\square\beta)$
\end_inset

 é válida
\begin_inset Foot
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
No sistema axiomático K, essa fórmula é um axioma.
\end_layout

\end_inset

, como demonstra a árvore abaixo:
\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
psscalebox{1.0 1.0} % Change this value to rescale the drawing.
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

{ 
\backslash
begin{pspicture}(0,-4.975)(9.19,4.975) 
\backslash
rput[bl](0.8,4.625){$
\backslash
sim$($
\backslash
square$($
\backslash
alpha
\backslash
supset
\backslash
beta$)$
\backslash
supset$($
\backslash
square
\backslash
alpha
\backslash
supset
\backslash
square
\backslash
beta$))} 
\backslash
rput[bl](5.6,4.625){($w$)} 
\backslash
rput[bl](7.2,4.625){NTF (Nega
\backslash
c c
\backslash
~ao Total da F
\backslash
'ormula)} 
\backslash
rput[bl](0.0,4.625){1.} 
\backslash
rput[bl](0.0,3.825){2.} 
\backslash
rput[bl](0.0,3.025){3.} 
\backslash
rput[bl](0.0,2.225){4.} 
\backslash
rput[bl](2.0,3.825){$
\backslash
square$($
\backslash
alpha
\backslash
supset
\backslash
beta$)} 
\backslash
rput[bl](5.6,3.825){($w$)} 
\backslash
rput[bl](7.2,3.825){1} 
\backslash
rput[bl](1.6,3.025){$
\backslash
sim$($
\backslash
square
\backslash
alpha
\backslash
supset
\backslash
square
\backslash
beta$)} 
\backslash
rput[bl](5.6,3.025){($w$)} 
\backslash
rput[bl](7.2,3.025){1} 
\backslash
rput[bl](2.4,2.225){$
\backslash
square
\backslash
alpha$} 
\backslash
rput[bl](0.0,1.425){5.} 
\backslash
rput[bl](0.0,0.625){6.} 
\backslash
rput[bl](0.0,-0.175){7.} 
\backslash
rput[bl](5.6,2.225){($w$)} 
\backslash
rput[bl](2.0,1.425){$
\backslash
sim
\backslash
square
\backslash
beta$} 
\backslash
rput[bl](5.6,1.425){($w$)} 
\backslash
rput[bl](7.2,2.225){3} 
\backslash
rput[bl](7.2,1.425){3} 
\backslash
rput[bl](2.0,0.625){$
\backslash
diamondsuit
\backslash
sim
\backslash
beta$} 
\backslash
rput[bl](5.6,0.625){($w$)} 
\backslash
rput[bl](7.2,0.625){5, MN} 
\backslash
rput[bl](0.0,-0.975){8.} 
\backslash
rput[bl](0.0,-1.775){9.} 
\backslash
rput[bl](2.4,-0.175){$wAv$} 
\backslash
rput[bl](2.4,-0.975){$
\backslash
sim
\backslash
beta$} 
\backslash
rput[bl](5.6,-0.975){($v$)} 
\backslash
rput[bl](7.2,-0.975){6, 7, $
\backslash
diamondsuit$-Sem*} 
\backslash
rput[bl](2.4,-1.775){($
\backslash
alpha
\backslash
supset
\backslash
beta$)} 
\backslash
rput[bl](5.6,-1.775){($v$)} 
\backslash
rput[bl](7.2,-1.775){2, 7, $
\backslash
square$-Sem*} 
\backslash
rput[bl](0.0,-3.375){10.} 
\backslash
rput[bl](0.0,-4.175){11.} 
\backslash
psline[linecolor=black, linewidth=0.04](3.2,-2.175)(1.6,-2.575) 
\backslash
psline[linecolor=black, linewidth=0.04](3.2,-2.175)(4.8,-2.575) 
\backslash
rput[bl](0.8,-3.375){$
\backslash
sim
\backslash
alpha$} 
\backslash
rput[bl](1.6,-3.375){($v$)} 
\backslash
rput[bl](4.8,-3.375){$
\backslash
beta$} 
\backslash
rput[bl](5.2,-3.375){($v$)} 
\backslash
rput[bl](6.0,-3.375){9} 
\backslash
rput[bl](1.2,-4.175){$
\backslash
alpha$} 
\backslash
rput[bl](2.4,-3.375){9} 
\backslash
rput[bl](1.6,-4.175){($v$)} 
\backslash
rput[bl](2.4,-4.175){4, 7, $
\backslash
square$-Sem*} 
\backslash
rput[bl](1.2,-4.975){$
\backslash
times$} 
\backslash
rput[bl](4.8,-4.175){$
\backslash
times$} 
\backslash
end{pspicture} } 
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
É possível mostrar que K também gera um paradoxo relacionado à implicação
 estrita, pois a seguinte fórmula 
\begin_inset Formula $(\Square\sim\alpha\supset\Square(\alpha\supset\beta))$
\end_inset


\begin_inset Foot
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
Essa fórmula diz que qualquer proposição impossível implica estritamente
 qualquer outra proposição.
\end_layout

\end_inset

 é válida no sistema:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
psscalebox{1.0 1.0} % Change this value to rescale the drawing.
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

{ 
\backslash
begin{pspicture}(0,-3.8174512)(6.51,3.8174512) 
\backslash
rput[bl](4.4,3.467451){($w$)} 
\backslash
rput[bl](4.4,2.6674511){($w$)} 
\backslash
rput[bl](0.0,3.467451){1.} 
\backslash
rput[bl](0.4,3.467451){$
\backslash
sim$($
\backslash
square
\backslash
sim
\backslash
alpha
\backslash
supset
\backslash
square$($
\backslash
alpha
\backslash
supset
\backslash
beta$))} 
\backslash
rput[bl](0.0,2.6674511){2.} 
\backslash
rput[bl](1.6,2.6674511){$
\backslash
square
\backslash
sim
\backslash
alpha$} 
\backslash
rput[bl](5.2,3.467451){NTF} 
\backslash
rput[bl](0.0,1.8674512){3.} 
\backslash
rput[bl](1.2,1.8674512){$
\backslash
sim
\backslash
square$($
\backslash
alpha
\backslash
supset
\backslash
beta$)} 
\backslash
rput[bl](4.4,1.8674512){($w$)} 
\backslash
rput[bl](5.2,2.6674511){1} 
\backslash
rput[bl](5.2,1.8674512){1} 
\backslash
rput[bl](0.0,1.0674511){4.} 
\backslash
rput[bl](0.0,0.26745117){5.} 
\backslash
rput[bl](0.0,-0.53254884){6.} 
\backslash
rput[bl](0.0,-1.3325489){7.} 
\backslash
rput[bl](0.0,-2.1325488){8.} 
\backslash
rput[bl](1.2,1.0674511){$
\backslash
diamondsuit
\backslash
sim$($
\backslash
alpha
\backslash
supset
\backslash
beta$)} 
\backslash
rput[bl](4.4,1.0674511){($w$)} 
\backslash
rput[bl](5.2,1.0674511){3, MN} 
\backslash
rput[bl](1.6,0.26745117){$wAv$} 
\backslash
rput[bl](1.2,-0.53254884){$
\backslash
sim$($
\backslash
alpha
\backslash
supset
\backslash
beta$)} 
\backslash
rput[bl](4.4,-0.53254884){($v$)} 
\backslash
rput[bl](1.6,-1.3325489){$
\backslash
alpha$} 
\backslash
rput[bl](4.4,-1.3325489){($v$)} 
\backslash
rput[bl](1.6,-2.1325488){$
\backslash
sim
\backslash
beta$} 
\backslash
rput[bl](4.4,-2.1325488){($v$)} 
\backslash
rput[bl](5.2,-0.53254884){4, 5, $
\backslash
diamondsuit$-Sem*} 
\backslash
rput[bl](5.2,-1.3325489){6} 
\backslash
rput[bl](5.2,-2.1325488){6} 
\backslash
rput[bl](0.0,-2.9325488){9.} 
\backslash
rput[bl](1.6,-2.9325488){$
\backslash
sim
\backslash
alpha$} 
\backslash
rput[bl](4.4,-2.9325488){($v$)} 
\backslash
rput[bl](5.2,-2.9325488){2, 5, $
\backslash
square$-Sem*} 
\backslash
rput[bl](1.6,-3.7325487){$
\backslash
times$} 
\backslash
end{pspicture} }
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Iremos mostrar agora que a fórmula (
\begin_inset Formula $\Square\alpha\supset\alpha$
\end_inset

) não é válida em K.
 Vejamos a seguinte árvore:
\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
psscalebox{1.0 1.0} % Change this value to rescale the drawing.
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

{ 
\backslash
begin{pspicture}(0,-2.175)(11.33,2.175) 
\backslash
rput[bl](5.6,1.825){($w$)} 
\backslash
rput[bl](7.2,1.825){NTF} 
\backslash
rput[bl](0.0,1.825){1.} 
\backslash
rput[bl](0.0,1.025){2.} 
\backslash
rput[bl](0.0,0.225){3.} 
\backslash
rput[bl](5.6,1.025){($w$)} 
\backslash
rput[bl](7.2,1.025){1} 
\backslash
rput[bl](5.6,0.225){($w$)} 
\backslash
rput[bl](7.2,0.225){1} 
\backslash
rput[bl](2.0,1.825){$
\backslash
sim$($
\backslash
square
\backslash
alpha
\backslash
supset
\backslash
alpha$)} 
\backslash
rput[bl](2.8,1.025){$
\backslash
square
\backslash
alpha$} 
\backslash
rput[bl](2.8,0.225){$
\backslash
sim
\backslash
alpha$} 
\backslash
rput[bl](2.8,-2.175){$
\backslash
uparrow$} 
\backslash
rput[bl](0.0,-0.575){4.} 
\backslash
rput[bl](2.8,-0.575){$wAv$} 
\backslash
rput[bl](0.0,-1.375){5.} 
\backslash
rput[bl](2.8,-1.375){$
\backslash
alpha$} 
\backslash
rput[bl](5.6,-1.375){($v$)} 
\backslash
rput[bl](7.2,-1.375){2, 4, $
\backslash
square$-Sem*} 
\backslash
rput[bl](7.2,-2.175){(a ramifica
\backslash
c c
\backslash
~ao est
\backslash
'a aberta)} 
\backslash
end{pspicture} }
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Um contraexemplo que justifica a invalidade da fórmula (
\begin_inset Formula $\Square\alpha\supset\alpha$
\end_inset

) em K:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Tabular
<lyxtabular version="3" rows="4" columns="3">
<features tabularvalignment="middle">
<column alignment="center" valignment="top">
<column alignment="center" valignment="top">
<column alignment="center" valignment="top">
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $w$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $v$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\Square\alpha$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\Square\alpha\supset\alpha$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
</lyxtabular>

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Sistema T
\end_layout

\begin_layout Standard
O sistema T é obtido quando assumimos que a relação de acessibilidade é
 
\shape italic
reflexi
\shape default
va
\begin_inset Foot
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
Girle a chama de regra de 
\shape italic
auto acesso
\shape default
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
cite[p.
 32]{GIRLE2000}
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\end_inset

.
 Tal relação estabelece que para todo mundo possível 
\begin_inset Formula $w$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $wAw$
\end_inset

.
 Veremos que a fórmula 
\begin_inset Formula $(\Square\alpha\supset\alpha)$
\end_inset

 é válida no sistema T e, portanto, é ela que o distingue o sistema K:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
psscalebox{1.0 1.0} % Change this value to rescale the drawing.
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

{ 
\backslash
begin{pspicture}(0,-2.175)(6.11,2.175) 
\backslash
rput[bl](4.4,1.825){($w$)} 
\backslash
rput[bl](4.4,1.025){($w$)} 
\backslash
rput[bl](0.0,1.825){1.} 
\backslash
rput[bl](0.0,1.025){2.} 
\backslash
rput[bl](5.2,1.825){NTF} 
\backslash
rput[bl](0.0,0.225){3.} 
\backslash
rput[bl](4.4,0.225){($w$)} 
\backslash
rput[bl](5.2,1.025){1} 
\backslash
rput[bl](5.2,0.225){1} 
\backslash
rput[bl](0.0,-0.575){4.} 
\backslash
rput[bl](0.0,-1.375){5.} 
\backslash
rput[bl](4.4,-0.575){($w$)} 
\backslash
rput[bl](1.6,1.825){$
\backslash
sim$($
\backslash
square
\backslash
alpha
\backslash
supset
\backslash
alpha$)} 
\backslash
rput[bl](2.0,1.025){$
\backslash
square
\backslash
alpha$} 
\backslash
rput[bl](2.0,0.225){$
\backslash
sim
\backslash
alpha$} 
\backslash
rput[bl](2.0,-0.575){$wAw$} 
\backslash
rput[bl](5.2,-0.575){2, $
\backslash
square$T} 
\backslash
rput[bl](2.0,-1.375){$
\backslash
alpha$} 
\backslash
rput[bl](4.4,-1.375){($w$)} 
\backslash
rput[bl](5.2,-1.375){2, $
\backslash
square$T} 
\backslash
rput[bl](2.0,-2.175){$
\backslash
times$} 
\backslash
end{pspicture} }
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
As seguintes fórmulas não são válidas em T.
\end_layout

\begin_layout Standard
(
\begin_inset Formula $\Square\alpha\supset\Square\Square\alpha$
\end_inset

):
\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
psscalebox{1.0 1.0} % Change this value to rescale the drawing.
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

{ 
\backslash
begin{pspicture}(0,-4.175)(7.99,4.175) 
\backslash
rput[bl](4.4,3.825){($w$)} 
\backslash
rput[bl](6.0,3.825){NTF} 
\backslash
rput[bl](0.0,3.825){1.} 
\backslash
rput[bl](0.0,3.025){2.} 
\backslash
rput[bl](0.0,2.225){3.} 
\backslash
rput[bl](4.4,3.025){($w$)} 
\backslash
rput[bl](6.0,3.025){1} 
\backslash
rput[bl](4.4,2.225){($w$)} 
\backslash
rput[bl](6.0,2.225){1} 
\backslash
rput[bl](0.0,1.425){4.} 
\backslash
rput[bl](0.0,0.625){5.} 
\backslash
rput[bl](1.2,3.825){$
\backslash
sim$($
\backslash
square
\backslash
alpha
\backslash
supset
\backslash
square
\backslash
square
\backslash
alpha$)} 
\backslash
rput[bl](2.0,3.025){$
\backslash
square
\backslash
alpha$} 
\backslash
rput[bl](1.6,2.225){$
\backslash
sim
\backslash
square
\backslash
square
\backslash
alpha$} 
\backslash
rput[bl](1.6,1.425){$
\backslash
diamondsuit
\backslash
sim
\backslash
square
\backslash
alpha$} 
\backslash
rput[bl](6.0,1.425){3, MN} 
\backslash
rput[bl](4.4,1.425){($w$)} 
\backslash
rput[bl](2.0,0.625){$wAv$} 
\backslash
rput[bl](0.0,-0.175){6.} 
\backslash
rput[bl](2.0,-0.175){$
\backslash
sim
\backslash
square
\backslash
alpha$} 
\backslash
rput[bl](4.4,-0.175){($v$)} 
\backslash
rput[bl](6.0,-0.175){4, 5, $
\backslash
diamondsuit$-Sem*} 
\backslash
rput[bl](0.0,-0.975){7.} 
\backslash
rput[bl](2.0,-0.975){$
\backslash
diamondsuit
\backslash
sim
\backslash
alpha$} 
\backslash
rput[bl](4.4,-0.975){($v$)} 
\backslash
rput[bl](6.0,-0.975){6, MN} 
\backslash
rput[bl](0.0,-1.775){8.} 
\backslash
rput[bl](2.0,-1.775){$vAu$} 
\backslash
rput[bl](0.0,-2.575){9.} 
\backslash
rput[bl](2.0,-2.575){$
\backslash
sim
\backslash
alpha$} 
\backslash
rput[bl](4.4,-2.575){($u$)} 
\backslash
rput[bl](6.0,-2.575){7, 8, $
\backslash
diamondsuit$-Sem*} 
\backslash
rput[bl](0.0,-3.375){10.} 
\backslash
rput[bl](2.0,-3.375){$
\backslash
alpha$} 
\backslash
rput[bl](4.4,-3.375){($v$)} 
\backslash
rput[bl](6.0,-3.375){2, 5, $
\backslash
square$-Sem*} 
\backslash
rput[bl](2.0,-4.175){$
\backslash
uparrow$} 
\backslash
end{pspicture} } 
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Um contraexemplo abaixo mostra que em algum modelo a fórmula (
\begin_inset Formula $\Square\alpha\supset\Square\Square\alpha$
\end_inset

) é falsa.
 Assumindo as relações 
\begin_inset Formula $wAw$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $wAv$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $vAu$
\end_inset

, temos:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Tabular
<lyxtabular version="3" rows="5" columns="4">
<features tabularvalignment="middle">
<column alignment="center" valignment="top">
<column alignment="center" valignment="top">
<column alignment="center" valignment="top">
<column alignment="center" valignment="top">
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $w$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $v$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $u$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\Square\alpha$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\Square\Square\alpha$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\Square\alpha\supset\Square\Square\alpha$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
</lyxtabular>

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset VSpace medskip
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $\Square(\alpha\supset\Square\diamondsuit\alpha)$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
psscalebox{1.0 1.0} % Change this value to rescale the drawing.
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

{ 
\backslash
begin{pspicture}(0,-4.217451)(7.99,4.217451) 
\backslash
rput[bl](4.4,3.8674512){($w$)} 
\backslash
rput[bl](6.0,3.8674512){NTF} 
\backslash
rput[bl](0.0,3.8674512){1.} 
\backslash
rput[bl](0.0,3.0674512){2.} 
\backslash
rput[bl](0.0,2.2674513){3.} 
\backslash
rput[bl](4.4,3.0674512){($w$)} 
\backslash
rput[bl](0.0,1.4674512){4.} 
\backslash
rput[bl](0.0,0.66745114){5.} 
\backslash
rput[bl](0.0,-0.13254882){6.} 
\backslash
rput[bl](4.4,0.66745114){($v$)} 
\backslash
rput[bl](6.0,-0.13254882){4, 5, $
\backslash
diamondsuit$-Sem*} 
\backslash
rput[bl](0.0,-0.9325488){7.} 
\backslash
rput[bl](4.4,-0.13254882){($v$)} 
\backslash
rput[bl](6.0,-0.9325488){6, MN} 
\backslash
rput[bl](0.0,-1.7325488){8.} 
\backslash
rput[bl](0.0,-2.532549){9.} 
\backslash
rput[bl](4.4,-2.532549){($u$)} 
\backslash
rput[bl](6.0,-2.532549){7, 8, $
\backslash
diamondsuit$-Sem*} 
\backslash
rput[bl](0.0,-3.3325489){10.} 
\backslash
rput[bl](1.2,3.8674512){$
\backslash
sim
\backslash
square$($
\backslash
alpha
\backslash
supset
\backslash
square
\backslash
diamondsuit
\backslash
alpha$)} 
\backslash
rput[bl](1.2,3.0674512){$
\backslash
diamondsuit
\backslash
sim$($
\backslash
alpha
\backslash
supset
\backslash
square
\backslash
diamondsuit
\backslash
alpha$)} 
\backslash
rput[bl](6.0,3.0674512){1, MN} 
\backslash
rput[bl](2.0,2.2674513){$wAv$} 
\backslash
rput[bl](1.6,1.4674512){$
\backslash
sim$($
\backslash
alpha
\backslash
supset
\backslash
square
\backslash
diamondsuit
\backslash
alpha$)} 
\backslash
rput[bl](4.4,1.4674512){($v$)} 
\backslash
rput[bl](6.0,1.4674512){2, 3, $
\backslash
diamondsuit$-Sem*} 
\backslash
rput[bl](2.4,0.66745114){$
\backslash
alpha$} 
\backslash
rput[bl](2.0,-0.13254882){$
\backslash
sim
\backslash
square
\backslash
diamondsuit
\backslash
alpha$} 
\backslash
rput[bl](2.0,-0.9325488){$
\backslash
diamondsuit
\backslash
sim
\backslash
diamondsuit
\backslash
alpha$} 
\backslash
rput[bl](4.4,-0.9325488){($v$)} 
\backslash
rput[bl](2.4,-1.7325488){$vAu$} 
\backslash
rput[bl](2.4,-2.532549){$
\backslash
sim
\backslash
diamondsuit
\backslash
alpha$} 
\backslash
rput[bl](2.4,-3.3325489){$
\backslash
square
\backslash
sim
\backslash
alpha$} 
\backslash
rput[bl](4.4,-3.3325489){($u$)} 
\backslash
rput[bl](6.0,-3.3325489){9, MN} 
\backslash
rput[bl](2.4,-4.132549){$
\backslash
uparrow$} 
\backslash
end{pspicture} } 
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Um contraexemplo que evidencia tal invalidade:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Tabular
<lyxtabular version="3" rows="6" columns="4">
<features tabularvalignment="middle">
<column alignment="center" valignment="top">
<column alignment="center" valignment="top">
<column alignment="center" valignment="top">
<column alignment="center" valignment="top">
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $w$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $v$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $u$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\diamondsuit\alpha$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
V
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\Square\diamondsuit\alpha$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\alpha\supset\Square\diamondsuit\alpha$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\Square(\alpha\supset\Square\diamondsuit\alpha)$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
F
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
</lyxtabular>

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Sistema S4
\end_layout

\begin_layout Standard
O sistema S4 é obtido quando assumimos que a relação de acessibilidade entre
 mundos é refleviva e transitiva.
 Para elucidarmos melhor tais relações, mostraremos que a seguinte fórmula
 
\begin_inset Formula $(\Square\alpha\supset\Square\Square\alpha)$
\end_inset

 é válida nesse sistema e, portanto, tal fórmula o distingue do sistema
 T:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
psscalebox{1.0 1.0} % Change this value to rescale the drawing.
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

{ 
\backslash
begin{pspicture}(0,-4.575)(7.36,4.575) 
\backslash
rput[bl](4.4,4.225){($w$)} 
\backslash
rput[bl](4.4,3.425){($w$)} 
\backslash
rput[bl](0.0,4.225){1.} 
\backslash
rput[bl](0.0,3.425){2.} 
\backslash
rput[bl](5.2,4.225){NTF} 
\backslash
rput[bl](0.0,2.625){3.} 
\backslash
rput[bl](4.4,2.625){($w$)} 
\backslash
rput[bl](5.2,3.425){1} 
\backslash
rput[bl](5.2,2.625){1} 
\backslash
rput[bl](0.0,1.825){4.} 
\backslash
rput[bl](0.0,1.025){5.} 
\backslash
rput[bl](4.4,1.825){($w$)} 
\backslash
rput[bl](2.0,-4.575){$
\backslash
times$} 
\backslash
rput[bl](1.2,4.225){$
\backslash
sim$($
\backslash
square
\backslash
alpha
\backslash
supset
\backslash
square
\backslash
square
\backslash
alpha$)} 
\backslash
rput[bl](2.0,3.425){$
\backslash
square
\backslash
alpha$} 
\backslash
rput[bl](1.6,2.625){$
\backslash
sim
\backslash
square
\backslash
square
\backslash
alpha$} 
\backslash
rput[bl](1.6,1.825){$
\backslash
diamondsuit
\backslash
sim
\backslash
square
\backslash
alpha$} 
\backslash
rput[bl](5.2,1.825){3, MN} 
\backslash
rput[bl](2.0,0.225){$
\backslash
sim
\backslash
square
\backslash
alpha$} 
\backslash
rput[bl](4.4,0.225){($v$)} 
\backslash
rput[bl](0.0,0.225){6.} 
\backslash
rput[bl](2.0,1.025){$wAv$} 
\backslash
rput[bl](5.2,0.225){4, 5, $
\backslash
diamondsuit$-Sem*} 
\backslash
rput[bl](0.0,-0.575){7.} 
\backslash
rput[bl](2.0,-0.575){$
\backslash
diamondsuit
\backslash
sim
\backslash
alpha$} 
\backslash
rput[bl](4.4,-0.575){($v$)} 
\backslash
rput[bl](5.2,-0.575){6, MN} 
\backslash
rput[bl](0.0,-1.375){8.} 
\backslash
rput[bl](2.0,-1.375){$vAu$} 
\backslash
rput[bl](5.2,-1.375){$
\backslash
diamondsuit$-Sem*} 
\backslash
rput[bl](5.2,1.025){$
\backslash
diamondsuit$-Sem*} 
\backslash
rput[bl](0.0,-2.175){9.} 
\backslash
rput[bl](2.0,-2.175){$
\backslash
sim
\backslash
alpha$} 
\backslash
rput[bl](4.4,-2.175){($u$)} 
\backslash
rput[bl](5.2,-2.175){7, 8, $
\backslash
diamondsuit$-Sem*} 
\backslash
rput[bl](0.0,-2.975){10.} 
\backslash
rput[bl](2.0,-2.975){$wAu$} 
\backslash
rput[bl](5.2,-2.975){5, 8} 
\backslash
rput[bl](0.0,-3.775){11.} 
\backslash
rput[bl](2.0,-3.775){$
\backslash
alpha$} 
\backslash
rput[bl](4.4,-3.775){($u$)} 
\backslash
rput[bl](5.2,-3.775){2, 10, $
\backslash
square$-Sem*} 
\backslash
end{pspicture} } 
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
No entanto, a fórmula 
\begin_inset Formula $\Square(\alpha\supset\Square\lozenge\alpha)$
\end_inset

 continua sendo inválida em S4.
 Veja na árvore abaixo:
\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
psscalebox{1.0 1.0} % Change this value to rescale the drawing.
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

{ 
\backslash
begin{pspicture}(0,-4.217451)(7.99,4.217451) 
\backslash
rput[bl](4.4,3.8674512){($w$)} 
\backslash
rput[bl](6.0,3.8674512){NTF} 
\backslash
rput[bl](0.0,3.8674512){1.} 
\backslash
rput[bl](0.0,3.0674512){2.} 
\backslash
rput[bl](0.0,2.2674513){3.} 
\backslash
rput[bl](4.4,3.0674512){($w$)} 
\backslash
rput[bl](0.0,1.4674512){4.} 
\backslash
rput[bl](0.0,0.66745114){5.} 
\backslash
rput[bl](0.0,-0.13254882){6.} 
\backslash
rput[bl](4.4,0.66745114){($v$)} 
\backslash
rput[bl](0.0,-0.9325488){7.} 
\backslash
rput[bl](4.4,-0.13254882){($v$)} 
\backslash
rput[bl](6.0,-0.9325488){6, MN} 
\backslash
rput[bl](0.0,-1.7325488){8.} 
\backslash
rput[bl](0.0,-2.532549){9.} 
\backslash
rput[bl](4.4,-2.532549){($u$)} 
\backslash
rput[bl](6.0,-2.532549){7, 8, $
\backslash
diamondsuit$-Sem*} 
\backslash
rput[bl](0.0,-3.3325489){10.} 
\backslash
rput[bl](6.0,3.0674512){1, MN} 
\backslash
rput[bl](4.4,1.4674512){($v$)} 
\backslash
rput[bl](6.0,1.4674512){2, 3, $
\backslash
diamondsuit$-Sem*} 
\backslash
rput[bl](4.4,-0.9325488){($v$)} 
\backslash
rput[bl](4.4,-3.3325489){($u$)} 
\backslash
rput[bl](6.0,-3.3325489){9, MN} 
\backslash
rput[bl](1.2,3.8674512){$
\backslash
sim
\backslash
square$($
\backslash
alpha
\backslash
supset
\backslash
square
\backslash
diamondsuit
\backslash
alpha$)} 
\backslash
rput[bl](1.2,3.0674512){$
\backslash
diamondsuit
\backslash
sim$($
\backslash
alpha
\backslash
supset
\backslash
square
\backslash
diamondsuit
\backslash
alpha$)} 
\backslash
rput[bl](2.0,2.2674513){$wAv$} 
\backslash
rput[bl](1.2,1.4674512){$
\backslash
sim$($
\backslash
alpha
\backslash
supset
\backslash
square
\backslash
diamondsuit
\backslash
alpha$)} 
\backslash
rput[bl](2.0,0.66745114){$
\backslash
alpha$} 
\backslash
rput[bl](6.0,0.66745114){4} 
\backslash
rput[bl](1.6,-0.13254882){$
\backslash
sim
\backslash
square
\backslash
diamondsuit
\backslash
alpha$} 
\backslash
rput[bl](6.0,-0.13254882){4} 
\backslash
rput[bl](1.6,-0.9325488){$
\backslash
diamondsuit
\backslash
sim
\backslash
diamondsuit
\backslash
alpha$} 
\backslash
rput[bl](2.0,-1.7325488){$vAu$} 
\backslash
rput[bl](2.0,-2.532549){$
\backslash
sim
\backslash
diamondsuit
\backslash
alpha$} 
\backslash
rput[bl](2.0,-3.3325489){$
\backslash
square
\backslash
sim
\backslash
alpha$} 
\backslash
rput[bl](2.4,-4.132549){$
\backslash
uparrow$} 
\backslash
end{pspicture} }
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Sistema S5
\end_layout

\begin_layout Standard
Em S5, assumimos que a relação de acessibilidade possui as propriedades
 de reflexividade, transitividade e simetria
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Uma relação reflexiva, simétrica e transitiva é uma relação de equivalência.
\end_layout

\end_inset

.
 Então, podemos constatar que a seguinte fórmula 
\begin_inset Formula $\Square(\alpha\supset\Square\diamondsuit\alpha)$
\end_inset


\begin_inset Foot
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
Nesse caso, 
\begin_inset Formula $wAv$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $vAu$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $uAv$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset

 é válida:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
psscalebox{1.0 1.0} % Change this value to rescale the drawing.
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

{ 
\backslash
begin{pspicture}(0,-4.975)(10.14,4.975) 
\backslash
rput[bl](4.4,4.625){($w$)} 
\backslash
rput[bl](4.4,3.825){($w$)} 
\backslash
rput[bl](0.0,4.625){1.} 
\backslash
rput[bl](0.0,3.825){2.} 
\backslash
rput[bl](5.2,4.625){NTF} 
\backslash
rput[bl](0.0,3.025){3.} 
\backslash
rput[bl](0.0,2.225){4.} 
\backslash
rput[bl](0.0,1.425){5.} 
\backslash
rput[bl](1.6,-4.975){$
\backslash
times$} 
\backslash
rput[bl](4.4,0.625){($v$)} 
\backslash
rput[bl](0.0,0.625){6.} 
\backslash
rput[bl](0.0,-0.175){7.} 
\backslash
rput[bl](4.4,-0.175){($v$)} 
\backslash
rput[bl](5.2,-0.175){6, MN} 
\backslash
rput[bl](0.0,-0.975){8.} 
\backslash
rput[bl](5.2,-0.975){$
\backslash
diamondsuit$-Sem*} 
\backslash
rput[bl](0.0,-1.775){9.} 
\backslash
rput[bl](4.4,-1.775){($u$)} 
\backslash
rput[bl](5.2,-1.775){7, 8, $
\backslash
diamondsuit$-Sem*} 
\backslash
rput[bl](0.0,-2.575){10.} 
\backslash
rput[bl](0.0,-3.375){11.} 
\backslash
rput[bl](1.2,4.625){$
\backslash
sim
\backslash
square$($
\backslash
alpha
\backslash
supset
\backslash
square
\backslash
diamondsuit
\backslash
alpha$)} 
\backslash
rput[bl](1.2,3.825){$
\backslash
diamondsuit
\backslash
sim$($
\backslash
alpha
\backslash
supset
\backslash
square
\backslash
diamondsuit
\backslash
alpha$)} 
\backslash
rput[bl](5.2,3.825){1, MN} 
\backslash
rput[bl](1.6,3.025){$wAv$} 
\backslash
rput[bl](5.2,3.025){$
\backslash
diamondsuit$-Sem*} 
\backslash
rput[bl](1.2,2.225){$
\backslash
sim$($
\backslash
alpha
\backslash
supset
\backslash
square
\backslash
diamondsuit
\backslash
alpha$)} 
\backslash
rput[bl](4.4,2.225){($v$)} 
\backslash
rput[bl](5.2,2.225){2, 3, $
\backslash
diamondsuit$-Sem*} 
\backslash
rput[bl](2.0,1.425){$
\backslash
alpha$} 
\backslash
rput[bl](4.4,1.425){($v$)} 
\backslash
rput[bl](5.2,1.425){4} 
\backslash
rput[bl](1.6,0.625){$
\backslash
sim
\backslash
square
\backslash
diamondsuit
\backslash
alpha$} 
\backslash
rput[bl](5.2,0.625){4} 
\backslash
rput[bl](1.6,-0.175){$
\backslash
diamondsuit
\backslash
sim
\backslash
diamondsuit
\backslash
alpha$} 
\backslash
rput[bl](1.6,-0.975){$vAu$} 
\backslash
rput[bl](1.6,-1.775){$
\backslash
sim
\backslash
diamondsuit
\backslash
alpha$} 
\backslash
rput[bl](1.6,-2.575){$
\backslash
square
\backslash
sim
\backslash
alpha$} 
\backslash
rput[bl](4.4,-2.575){($u$)} 
\backslash
rput[bl](5.2,-2.575){9, MN} 
\backslash
rput[bl](1.6,-3.375){$uAv$} 
\backslash
rput[bl](0.0,-4.175){12.} 
\backslash
rput[bl](1.6,-4.175){$
\backslash
sim
\backslash
alpha$} 
\backslash
rput[bl](4.4,-4.175){($v$)} 
\backslash
rput[bl](5.2,-3.375){8 (Propriedade de simetria)} 
\backslash
rput[bl](5.2,-4.175){10, 11, $
\backslash
square$-Sem*} 
\backslash
end{pspicture} } 
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Chapter
Conclusão
\end_layout

\begin_layout Standard
Tudo o que vimos até agora sobre os aspectos da Lógica Modal recai na expectativ
a de elucidarmos a Lógica Proposicional Modal como a Lógica de mundos possíveis.
 Lembrando que os autores apresentados aqui, como a interpretação de CI
 Lewis, versaram a LPM como uma extensão da LPC.
 A importância de apresentarmos a Lógica Proposicional Clássica foi uma
 tentativa de evidenciar os paradoxos que rondaram a LPC no que tange ao
 funcionamento interpretativo da linguagem ordinária.
\end_layout

\begin_layout Standard
A expectativa de que a LPM moderna apresentada embrionariamente por CI Lewis
 não ter encarado paradoxos similares aos da LPC é afirmar que a LPM enfrentou
 outros problemas.
 Porém, como foi dito no segundo capítulo, a interpretação de Rocha apontando
 que os paradoxos da Implicação Estrita são similares aos da Implicação
 Material mostra que CI Lewis apenas transferiu o problema 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
cite{ROCHA2013}
\end_layout

\end_inset

, em outras palavras, ele só adiou a solução desses paradoxos em linguagem
 ordinária.
 Evidentemente, a Semântica de Mundos Possíveis de Kripke com seu caráter
 extensional a modalidade apenas amenizou o problema com a inserção das
 relações de acessibilidades entre mundos.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Podemos caracterizar agora que o aspecto da Lógica Modal moderna é como
 uma Lógica de mundos possíveis que caracteriza os diversos sistemas modais
 através das relações de acessibilidade entre mundos.
 Isso fica claro quando tratamos dos aspectos da Lógica Modal em inferências
 ordinárias, uma vez que esta caracterização em momento algum estabeleceu
 um perfil que elimine aqueles paradoxos da LPC.
 O que se pode concluir desta análise é que talvez não seja do interesse
 da Lógica Modal também como não foi em LPC estabelecer uma real resolução
 a esses problemas.
 Ou talvez esses paradoxos nem sejam problema tanto para a LPC quanto para
 a LPM.
\end_layout

\begin_layout Standard
Apesar de encontrarmos na filosofia diversas interpretações, a análise filosófic
a do conceito de mundos possíveis não interferiu basicamente na sistemática
 da LPM.
 Contudo, tal análise sobre mundos possíveis poderia ser útil no que tange
 aos fundamentos desta entidade que muito ajudou na sistematização da LPM
 como a conhecemos hoje.
 Isto sim seria mais um problema filosófico a ser encarado em outra ocasião.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset CommandInset bibtex
LatexCommand bibtex
bibfiles "referencias-a/mybib"
options "abntex2-alf"

\end_inset


\end_layout

\end_body
\end_document
